La Paradoja de Parrondo

"El resultado de juntar dos cosas negativas puede ser positivo"

MÓNICA SALOMONE. Madrid

Hay veces en que dos malos resultados puede dar lugar a uno bueno: lo dicela paradoja de Parrondo. Juan Manuel Rodríguez Parrondo, de 36 años, físico, profesor de la Universidad Complutense de Madrid, ha creado dos juegos de azar que intrigan cada vez más a ingenieros, matemáticos, biólogos y curiosos en general. Si se juega siempre a uno de los dos, cualquiera, la probabilidad de perder es muy alta, pero, si se alternan -se juega una vez a uno y la siguiente al otro-, quien antes perdía se convierte en ganador. Parrondo se inspiró en un problema biológico en el que interviene el azar -el transporte de proteínas dentro de la célula- y ahora otros buscan más sistemas en que la paradoja se revela de nuevo. El pasado diciembre se explicaban los juegos en la revista Nature, en un artículo no firmado por Parrondo.

La paradoja de Parron (Tomado de Internet):

La paradoja de Parrondo

En el mundo científico –sobre todo en el anglosajón– es ya bien conocida la paradoja que lleva el nombre de Juan Manuel Rodríguez Parrondo, investigador del Departamento de Física de la Universidad Complutense de Madrid.

La formuló cuando para explicar el inesperado movimiento hacia la derecha de una molécula celular sometida a dos impulsos aleatorios hacia la izquierda se valió de un programa informático basado en la interacción entre dos juegos de azar.

Desde que un colaborador suyo australiano la diera a conocer en 1999, la paradoja viene siendo analizada desde multitud de ángulos, entre ellos el financiero, donde algunos –entre ellos, en Nueva York, el también físico Sergei Maslov– querrían aplicarla en bolsa (¡valores en declive hoy día no faltan!).

Imaginemos que proponemos a alguien jugar a dos juegos de azar, basados en el lanzamiento de ciertas monedas. Si sale cara, el jugador ganará 1 euro; y si sale cruz, lo perderá. El matemático americano John Allen Paulos propone que nos imaginemos al jugador en medio de una escalera, que representa su capital (en euros): cuando sale cara, subirá un peldaño; y si sale cruz, bajará uno.

El primer juego, llamémosle A, es muy sencillo: consiste en lanzar al aire una moneda en la que la probabilidad de cara es algo inferior a 0,5 (digamos, 0,495). Ese desequilibrio de la moneda, aunque pequeño, hará que el juego no sea recomendable: a largo plazo el jugador tenderá a perder.

El segundo juego, llamado B, es más complejo. Antes de jugarlo hay que ver si el capital del jugador –fruto de las ganancias y pérdidas acumuladas– es o no múltiplo de 3. Si no lo es (está, por ejemplo, en 8 euros), tirará con una moneda “buena”, trucada a su favor, cuya probabilidad de cara es casi de 0,75 (digamos, 0,745).

Si por el contrario su capital es múltiplo de 3 (el jugador está, por ejemplo, en el peldaño de los 9 euros), le tocará tirar con una moneda “mala”, trucada en su contra, en la que la probabilidad de cara es un poco menor de 0,10 (digamos, 0,995). Este segundo juego B parece mejor negocio, porque toca jugar con la moneda “buena” con relativa frecuencia: dos de cada tres veces, ¿no? Pues no. Para calcular el resultado del juego B hay que tener presente que la selección de qué moneda se usa cada vez está en función del resultado de las tiradas precedentes.

El capital del jugador podrá corresponder a tres situaciones o “estados”: ser múltiplo de 3, ser múltiplo de 3 + 1, o ser múltiplo de 3 + 2. Las reglas del juego indican las “probabilidades de transición” a partir de cada uno de esos tres estados: así, por ejemplo, si el jugador está en 8 euros, la probabilidad de subir a 9 euros será de casi el 75%, mientras que la de bajar a 7 de aproxidamente el 25%. Cada tirada estará “encadenada” al resultado de la precedente. El juego B es, pues, lo que los estadísticos llaman una “cadena de Markov”.

Analizándola matemáticamente –cosa para la que no hay espacio en esta columna–, resulta que la moneda “mala” acabará usándose más de un tercio de las veces (para intuir por qué, veamos que si el jugador parte, por ejemplo, de 9 euros es muy probable que la moneda “mala” le haga bajar un peldaño hasta el 8; y, tras lanzar desde el peldaño 8 la moneda “buena”, es probable que vuelva otra vez a subir a 9 euros, lo que le obligará a usar de nuevo la moneda “mala”). En suma, como la moneda “mala” se termina usando más de lo que parece, también el juego B arroja pérdidas a largo plazo.

Considerados, pues, de forma aislada, tanto el juego A como el B arrojarán pérdidas a largo plazo. El sorprendente descubrimiento de Juan Parrondo –he ahí la paradoja– es que cuando se combinan de cierta forma ambos juegos… ¡el resultado se vuelve favorable para el jugador! Eso ocurre, en particular, cuando se juegan en secuencias de dos en dos –esto es siguiendo el patrón AABBAABB…– o cuando se salta al azar de un juego al otro (para más detalles puede consultarse la abundante bibliografía disponible en inglés con tan sólo teclear Parrondo´s paradox en yahoo.com u otro buscador similar; allí se encontrarán diversos simuladores, que muestran cómo la paradoja se da sólo en ciertos casos especiales, no en cualquier combinación posible de los dos juegos).

‘Efecto trinquete’
En Juegos paradójicos y máquinas térmicas brownianas, Juan Parrondo y su compañero de departamento Borja Jiménez explican así la paradoja: “El juego A, a pesar de consistir en una única moneda “mala”, redistribuye las frecuencias con las que se juegan las dos monedas del juego B, haciendo que la moneda “buena” se utilice un mayor número de veces. Ésta es la esencia de la paradoja: la tendencia ganadora está ya en el juego B, pero cuando éste se juega aisladamente la tendencia perdedora es dominante; el papel del juego A es invertir esta dominancia.

A pesar de que el juego A es perdedor, el efecto de potenciar la moneda “buena” del juego B es mayor que la propia tendencia perdedora de A y el resultado neto es que la combinación de A y B es ganadora”. El juego A actúa, pues, como un “mecanismo de trinquete” (ratchet), esa pestaña que hace que una rueda dentada –en un reloj, en una carraca…– sólo pueda girar en un sentido y consolide las ganancias en cada giro.

La paradoja de Parrondo y el efecto trinquete tienen manifestaciones sociales. En la revista electrónica Kilómetro 0, el propio Parrondo aventuraba alguna: “En educación es mejor esperar a que el buen comportamiento surja de forma espontánea y premiarlo, que tratar de imponerlo por la fuerza. La primera sería la estrategia ratchet y la segunda la del empujón. Ésta, además de antipática, parece muy poco eficaz”.

Lástima que la brevedad de esta columna me obligue a concluir aquí este gozoso homenaje a este ya célebre –¡al menos en Estados Unidos!– investigador español.