Axioma del Supremo

Axioma del Supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo.

Diremos que un conjunto A posee supremo, si existe un real s que satisface las dos siguientes condiciones:

1) s es una cota superior de A.

2) Cualquier otra cota superior de A es mayor que s.

Continuidad en los Reales: Axioma del Supremo

Este texto me ha llevado a mirar de otra forma a los números Reales:

"Con el Axioma del Supremo se completa el conjunto de Axiomas que caracterizan totalmente a R (Reales), es decir, R es el único conjunto numérico que verifica los axiomas de Cuerpo, de Orden y el Axioma del Supremo.

Las consecuencias de mayor trascendencia del Axioma del Supremo son la existencia de números Irracionales y la propiedad arquimediana de los números reales.

De los axiomas de cuerpo solamente puede deducirse, en primera instancia, la existencia de al menos dos números distintos: el 0 y el 1. La suma de unos da origen a los números Naturales (N). La resta de números naturales da origen a los números Enteros (Z) y finalmente la división de enteros genera la aparición de números Racionales (Q).

En síntesis, para tener el conjunto Q bastan los axiomas de cuerpo y orden. Pero, estos númerso no son suficientes para la construcción del cálculo diferencial e integral cuyos conceptos básicos necesitan la continuidad de los números reales. Esta propiedad de R la proporciona el Axioma del suprem.