Teorema de la Probabilidad Total - Teorema de Bayes

Teorema de la Probabilidad Total:

Decimos que los eventos B1, B2, B3, .... , Bk representan una partición del espacio muestral S si:

En otras palabras, cuando se efectúa el experimento "e" ocurre uno y sólo uno de los eventos Bi.

En el diagrama de Venn de la figura, se ilustra esto para k = 8. Por lo tanto podemos escribir:

Por supuesto de que algunos de los conjuntos de intersección entre A y Bj pueden ser vacíos, pero ello no invalida la anterior descomposición de A.

Lo importante es que todos los eventos formados por cada una de las intersecciones, son parejas mutuamente excluyentes. Por lo tanto, podemos aplicar la propiedad aditiva para este tipo de eventos y escribir:

Sin embargo,
cada término de esta suma, se puede expresar usando la Probabilidad Condicional, obteniendo así de esta forma, el llamado Teorema de la Probabilidad Total:

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Este resultado es uy útil, ya que cuando se busca P(A), frecuentemente puede ser difícil calcularlo de forma directa.

Ejemplo: Cierto artículo es manufacturado en tres fábricas, digamos 1,2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen el mismo número de artículos (durante le periodo de producción dado). Se sabe también que el 2% de los artículos producidos por las primeras es defectuoso, mientras que el 4% de de los manufacturados por la tercera lo es. Todos los artículos defectuosos son puestos es una fila y se escoge uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este artículo sea defectuoso?

Definamos los eventos:

A = { el artículo es defectuoso }
B1 = { el articulo viene de la fábrica 1 }
B2 = { el articulo viene de la fábrica 2 }
B3 = { el articulo viene de la fábrica 3 }

P(B1) = 1/2
P(B2) = 1/4
P(B3) = 1/4

P(A/B1) = 0,02
P(A/B2) = 0,02
P(A/B3) = 0,04

Nos piden P(A)

P(A)= P(A/B1)P(B1) + P(A/B2)P(B2) + P(A/B3)P(B3)
P(A)= (0,02)(1/2) + (0,02)(1/4) + (0,04)(1/4) = 0,025

Veamos ahora el

Teorema de Bayes:

Usaremos el mismo ejemplo anterior para demostrar un resultado interesante. Supongamos que del depósito se escoge un artículo y se encuentra de que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se produjese en la primera de las fábricas?

Usando la notación de probabilidad condicionada tenemos, siendo B1, B2, B3, .... Bk una partición del espacio muestral S y A un evento asociado a S:

Este resulatdo es conocido como el teorema de Bayes o "Fórmula de la probabilidad de las causas".

Resolviendo para el caso del ejemplo anterior:

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