Números Primos (Tomado de hojamat.es)

Números primos y compuestos

Número primo

Un número natural mayor que 1 se llama primo si sólo es divisible entre sí mismo y la unidad. En caso contrario le llamaremos compuesto.

Existen infinitos números primos (se sabe desde Euclides), aunque su densidad es cada vez menor y se ha demostrado que converge de la siguiente forma:

Si denominamos p (x) al número de números primos inferiores o iguales a x, se cumple el teorema:

Teorema de los números primos

El cociente p(x)/x es asintóticamente equivalente al cociente 1/ln(x) para valores de x muy grandes (versión de Gauss) o bien a 1/(ln(x)- 1.08366) (versión de Legendre). Este teorema lo expresó Gauss como conjetura. Un tiempo más tarde sustituyó estas funciones por el logaritmo integral Li(x), conjeturando quep(x) se aproxima asintóticamente a esta función:

El matemático ruso Chebychev acotó mediante dos constantes esta aproximación.

Riemann usó la función zeta x (s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s+ 1/4^s + 1/5^s … para lograr una gran aproximación entre p(x) y Li(x), aunque no llegó a demostrar su su convergencia, cosa que lograron por separado los matematicos De la Vallée Pousin y Hadamard, al final del siglo XIX, y en el siguiente siglo (1949), demostraron el teorema Selberg y Erdös usando técnicas elementales.

La serie S (1/p) , donde p recorre todos los números primos, es divergente.

No obstante, si limitamos la serie a una suma parcial de todos los números primos inferiores o iguales a 5.10⁷, dicha suma es menor o igual que 4.

Criba de Eratóstenes

Algoritmo que encuentra la serie de números primos inferiores a uno dado mediante supresiones ordenadas de números compuestos: En primer lugar se tachan los pares a partir del 4 Después, a partir del 9, se tachan de 3 en 3 Desde el 25, de 5 en 5 Y así sucesivamente. En la figura se observa un modo muy atractivo de tachado de números compuestos entre 1 y 100, debido a K.P.Swallow. En este esquema se comprueba que todos los números primos son de la forma 6n+1 o 6n-1. También se ve fácilmente que son de la forma 4n+1 o 4n-1.

Criterio para saber si un número es primo

Un número es primo si no es divisible entre ninguno de los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Como el número de esos primos es finito, esto proporciona un algoritmo para descubrir si un número es primo o no.

Algunas propiedades de los números primos

- Hay infinitos números primos de la forma 4n+3
- Si p_n es el n-ésimo primo, será menor o igual que 2 elevado a 2^n-1
- Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 o de la forma 6n-1
- Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4n+1 o de la forma 4n-1

Un número primo tiene las siguientes propiedades respecto a una suma de cuadrados:

1. Un número primo es suma de cuadrados de dos números naturales si y sólo si es de la forma 4n+1.
2. El producto de dos números que son suma de cuadrados también es otra suma de cuadrados, en virtud de la identidad
3. (a² + b²)(c² + d²) = (ac-bd)² + (ad+bc)²
4. Por tanto el producto de potencias de números del tipo 4n+1 también equivale a una suma de cuadrados.
5. Si una suma de cuadrados se multiplica por otro cuadrado, resulta una nueva suma de cuadrados:
6. (a² + b²)c² = (ac)² + (bc)²
7. De las propiedades anteriores se deduce que son suma de cuadrados los números que contienen factores primos del tipo 4n+1 y factores de otro tipo cualquiera pero con potencia par.