Ecuaciones: De Primer Grado a Quinto Grado ! (Tomado de matematicas-de-la-simetria.blogspot.com)

Cuando un estudiante de enseñanza media tiene su primer contacto con el álgebra, generalmente es expuesto a un problema sencillo como el siguiente:

"Encontrar un número tal que si lo multiplicamos por cinco y le sumamos veinte nos dá treinta".

El número, desconocido aún, es identificado con la variable de incógnita x, con lo cual el problema es enunciado simbólicamente de la siguiente manera:

5x + 20 = 30

Aunque este problema es sencillo y se puede resolver mentalmente, muchos otros problemas que se ven posteriormente en los estudios del álgebra no lo son, razón por la cual se enuncia un problema introductorio de este tipo con fines didácticos.

La ecuación algebraica que tenemos arriba es lo que se llama una ecuación de primer grado, porque la incógnita x está elevada a un exponente de uno (1) en la ecuación. En su formulación más general, usando símbolos para representar los coeficientes numéricos, generalmente se representa de la siguiente manera;

ax + b = 0

La solución de este tipo de ecuaciones era ya conocida desde tiempos que predatan a la era Cristiana. La fórmula general para resolver una ecuación de primer grado como la de arriba es:

x = -b/a

Obsérvese que, si se conocen los coeficientes, la aplicación de la fórmula requiere que se lleve a cabo únicamente una división de los coeficientes.

El siguiente paso en la escala ascendente de complejidad es la ecuación de segundo grado, una ecuación que se enuncia en un problema de una manera como la siguiente:

"Dada la siguiente ecuacion

x² + 15x - 8 = 0

encontrar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación."

La ecuación algebraica que tenemos arriba es lo que se llama una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, porque la incógnita está elevada a un exponente máximo de dos (2) en la ecuación. Las soluciones a la ecuación cuadrática, no mediante alguna fórmula sino mediante manipulaciones geométricas (el álgebra aún no se había inventado) ya eran del conocimiento de los Babilonios unos 1,700 años A.C. Los textos de los Babilonios indican que ellos sabían resolver ecuaciones cuadráticas usando una "receta de cocina" concebida por algún genio matemático de la época mediante la cual se reformulaba el problema de modo tal que dijera: encontrar dos números, dados su suma y su producto. Llamando a los números s y p, y suponiendo quex+y=s y xy=p, la "receta de cocina" (o, en nuestra terminología moderna, el algoritmode solución) era la siguiente:

(1) Tomar la mitad de s.

(2) Elevar al cuadrado el resultado.

(3) De lo que se obtenga, substraer p.

(4) Sacar la raíz cuadrada del resultado.

(5) Sumar esto a la mitad de s para obtener una de las soluciones. La otra es s menos este número.

Por ejemplo, si la suma es 8 y el producto es 15, entonces los pasos sucesivos dan 4, 16, 1, 1, 3 y 8-3=5. Así, los dos números buscados son 5 y 3.

Posterioremente, las ecuaciones de segundo grado fueron estudiadas de modo más sistemático por el matemático al-Khawarizmi (780-850 D.C.), de cuyo nombre deriva precisamente la palabra algoritmo (el procedimiento para resolver un problema mediante una secuencia ordenada de pasos siguiendo una "receta de cocina") y de cuya obra al-Jabr deriva la palabra álgebra. Es de notar que el manejo del tema dado por al-Khawarizmi a las ecuaciones cuadráticas es un asunto algo pesado en virtud de que sus proposiciones y demostraciones eran enunciadas usando palabras sin recurrir a símbolos algebraicos (los cuales aún no habían sido inventados ni siquiera por él), además de que todos sus argumentos son expuestos recurriendo a la geometría.

En la formulación más general de la ecuación cuadrática, usando símbolos para representar los coeficientes numéricos, generalmente se representa de la siguiente manera;

ax² + bx + c = 0

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado cuando se conocen los coeficientes a, b y c, es la siguiente:

Es importante observar que la solución a la ecuación cuadrática general requiere la extracción de la raíz cuadrada de una función de los coeficientes conocida como el discriminante, b²-4ac. La derivación de esta fórmula se muestra a continuación:

Resueltas mediante fórmulas las ecuaciones de primer grado y segundo grado, el siguiente paso lógico en la escala de complejidad era la resolución también mediante alguna fórmula o fórmulas de las ecuaciones cúbicas o de tercer grado, generalmente expresadas de la siguiente manera:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Pese a su deceptiva sencillez, el problema de resolver esta ecuación fue un reto muy duro por largo tiempo para los algebristas más diestros en los tiempos del Renacimiento. Las fórmulas para la resolución exacta de la ecuación cúbica general fueron publicadas en 1545 por Girolamo Cardano (1501-1576) en su libro Ars Magna. Además de la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas, Cardano publicó en su Ars Magna una fórmula general para la solución de ecuaciones de cuarto grado:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

como la siguiente:

x⁴ - 8x + 6 = 9

La resolución de la ecuación cúbica general mediante el uso de fórmulas tiene una historia interesante con acusaciones de plagio que involucran a Niccolò Fontana (1500-1557), mejor conocido como "Tartaglia" ("el Tartamudo"), uno de los mejores matemáticos de la época del Renacimiento. De acuerdo con la historia, Tartagila fue el primero en obtener fórmulas para la resolución de la ecuación cúbica general. Cuando se enteró de ello, Cardano convenció a Tartaglia de que le revelara su secreto para resolver las ecuaciones cúbicas bajo la promesa de que el secreto sería conservado siempre, aunque de cualquier manera el procedimiento de solución fue publicado el el Ars Magna por Cardano quien argumentó haber obtenido la solución cúbica de otra persona con la cual no estaba comprometido en pacto de confidencialidad. Es por esto que la solución mediante fórmulas de la ecuación cúbica es conocida hoy como el método Tartagia-Cardano, ya que aunque haya sido Tartaglia quien descubrió dichas fórmulas por vez primera, fue Cardano quien las dió a conocer al mundo entero al publicarlas en su libro. Y en cuanto a la resolución de la ecuación general de cuarto grado mediante el uso de fórmulas, esta fue lograda por un estudiante de Cardano, Ludovico Ferrari, la que fue incluída en el Ars Magna como el pináculo del álgebra tradicional.

Se agregará aquí que la solución Tartaglia-Cardano mediante fórmulas generales aplicadas a los coeficientes de una ecuación cúbica requiere la extracción de raíces cúbicas. Y en lo que respecta a la solución general a la ecuación general de cuarto grado lograda porLudovico Ferrari, esta requiere la extracción de raíces cuartas.

Si las soluciones de una ecuación pueden ser obtenidas a partir de sus coeficientes mediante las operaciones usuales de la aritmética (suma, resta, multiplicación y división) y la extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, cuartas, etc.), por una larga costumbre histórica se dice que la ecuación es soluble por radicales.

Resueltas mediante fórmulas las ecuaciones de primero, segundo, tercero y cuarto grado, el siguiente paso lógico en la escala de complejidad era la búsqueda de alguna fórmula o fórmulas para resolver de la ecuación general de quinto grado o ecuación quíntica:

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

Para lograr la solución de la ecuación general de quinto grado, las diversas técnicas usadas para la solución de ecuaciones de tercero y cuarto grado fueron sistematizadas en los tiempos de Cardano para que pudieran ser aplicadas a las ecuaciones de quinto grado. Pero aquí los mejores matemáticos de la época se toparon con enormes dificultades, dificultades que eclipsaban incluso los problemas que se tuvieron que enfrentar para la resolución de la ecuación cúbica. Y el problema no parecía ser uno de simple complejidad. Por alguna razón hasta entonces desconocida, la ecuación de quinto grado resistía tenazmente todo tipo de intentos para obtener una fórmula general o una serie de fórmulas generales para la resolución de dicha ecuación, entendiéndose por esto una fórmula maestra que proporcionase las soluciones recurriendo únicamente a las operaciones usuales de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces (cuadradas, cúbicas, etc.) llevadas a cabo sobre los coeficientes de la ecuación.

Después de 300 años de búsquedas infructuosas, los matemáticos empezaron a sospechar que tales formulas no existían. Pero esto era tan solo una sospecha que podía ser descartada si mediante algún procedimiento ingenioso alguien lograba descubrir esas fórmulas que se resistían a ser descubiertas. Y precisamente en una época en la que la geometría de Euclides empezaría a desmoronarse de su pedestal como la única geometría posible (mis lectores pueden consultar aquí mi bitácora "Geometrías no-Euclideanas"), un joven matemático francés logró resolver el problema, y en el camino para la resolución del problema inventó un campo nuevo de las matemáticas, inventó las matemáticas de la simetría, inventó la teoría de grupos, la cual a la larga tendría una aplicación mucho más extensa que la resolución de este problema clásico del álgebra