Lobatcheski y las geometrías no Euclideanas

El matemático ruso Nikolai Lobachevski (1792-1856, imagen 1) fue el creador de las geometrías no euclidianas.


Desde fines del siglo XVIII, los matemáticos intentaron reemplazar los axiomas y postulados intuitivos que hasta entonces fundamentaban la ciencia matemática por fudamentos lógicamente rigurosos. Uno de los campos en que esta tendencia se manifestó fue en la geometría, que hasta entonces había aceptado sin mayores cuestionamiento los axiomas formulados por Euclides 24 siglos antes.

Los intentos se concentraron en el llamado Quinto Axioma de Euclides: en un plano, por un punto exterior a una recta puede pasar una y sólo una paralela a dicha recta.

Los matemáticos intentaron demostrar el Quinto Axioma usando métodos directos: demostrar que es verdadero a partir de otros postulados considerados verdaderos.

Lobachevski intentó un caminó distinto. En lugar de demostrar que el Quinto Axioma era verdadero, intentó demostrar que no podía ser falso.

Para ello, supuso que por un punto exterior a una recta pasaba más de una paralela a una recta dada. A partir de este postulado, desarrolló sus consecuencias lógicas, esperando que en algún momento apareciera una contradicción, lo que habría demostrado que el Quinto Axioma no podía ser falso y era, en consecuencia, verdadero.

Pero la contradicción no apareció jamás. Lobachevski pudo desarrollar una geometría completa en la que el Quinto Axioma no se cumplía. Un ejemplo de esta geometría no euclidiana de Lobachevski es la que describe la superficie llamada paraboloide hiperbólico (imagen 2). En esta geometría, por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a una dada.

Esta geometría no euclidiana de Lobachevski habría permanecido guardada en el "vasto museo teratológico" de las curiosidades matemáticas si no fuera porque, a principios del siglo XX, fue aplicada por Einstein para describir la forma del continuo espacio-tiempo prescrita por su Teoría de la Relatividad General.

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