PSU - DEMRE - 2008 - Ejercicio 45

45. Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura 7, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El área del triángulo DEF es la sexta parte del área del triángulo ABC
II) El lado FE (trazo) es paralelo al lado AB (trazo)
III) El lado FE (trazo) es perpendicular al lado AC (trazo)

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III

Solución: El triángulo unitario (yo lo llamo así) achurado en plomo, es equilátero (como dice el enunciado) y su lado es un tercio del equilátero mayor. Este triángulo unitario cabe 9 veces en el triángulo equilátero mayor: fíjese que por LAL cada uno de los subtriángulos es congruente con el triángulo unitario.

I) Es falsa, pues el triángulo unitario es la novena parte, no la sexta.
II) Es verdadera, pues si el triángulo unitario es equilátero, el ángulo CFE debe ser de 120º, el mismo que se replica abajo entre la horizontal y DB.
III) Es falsa pues la prolongación de EF cae en 60º sobre trazo AC

La alternativa correcta es B)