Matematicas Maravillosas

Cita Citable

2012-01-25T05:46:00.000-08:00

Quizás Dios no juegue a los dados con el universo,

pero algo raro ocurre con los números primos.

Paul Erdos

de cava-ciones (como dice mi hijo ....)

2012-01-25T05:34:00.000-08:00

último posteo antes de vacaciones ....

2012-01-25T05:33:00.001-08:00

Poesía con matemáticas ....

2012-01-24T07:06:00.000-08:00

Poetas (primera antología de poesía con matemáticas)

AUTOR: VV.AA. TÍTULO:Poetas (Primera antología de poesía con matemáticas)

PRÓLOGO: Jesús Malia

TAMAÑO: 14,8 x 22,2 cm.

PÁGINAS: 239

FORMATO: Rústica

ISBN: 978-84-15398-02-8 PVP: 15€

jugamos al LUCHE ?

2012-01-23T18:13:00.001-08:00

Frases Famosas ....

2012-01-23T18:00:00.001-08:00

Carta de Goldbach a Euler y otras

2012-01-23T17:53:00.001-08:00

Que belleza de carta .... ¿ Conoces otras ?

O miren este escrito de Galois (al amigo que publicará sus importantísimos descubrimientos más tarde), la noche previa al duelo de su muerte ....

Teoría de Grupos - Vida y Drama de Evariste Galois

2012-01-23T07:54:00.000-08:00

CUANDO LAS MATEMATICAS AVANZAN

DE UN "PISTOLETAZO" ....

tEORÍA dE gRUPOS:

El padre de esta teoría fue el matemático francés Évariste Galois.

Évariste murió temprano, vivió desde 1811 a 1832, es decir, 21 años, que ni siquiera alcanzó a cumplir.

Évariste Galois murió en un ESTÚPIDO duelo por faldas (con ribetes revolucionarios) y fue en la noche previa a este duelo que, en una triste carta, sentó las bases de lo que hoy se conoce como la moderna Teoría de Grupos.

Con 20 años Evariste perdió su virginidad y su vida en manos de una mujer de famosa belleza y poco honorable reputación, Stéphanie Fèlice Poterine du Motel. Ella era la "florero de mesa" de varias facciones revolucionarias más bien oscuras. Fue para salvar el honor que D'Herbinville, el compañero de Stéphanie retó -a muerte más que a duelo- a Galois. el 29 de mayo de 1832, se sentó en su escritorio y expulsó todo su bullente creación que inundaba su cabeza.

trozo de la carta que Galois escribiera la noche previa a su muerte .... "no tengo tiempo suficiente..."

(en su lecho de muerte habría dicho a su hermano:
"No llores. Necesito todo mi coraje para morir a los 20 años.")

Ver Link Biografía: Biografía E. Galois (Wikipedia)

¿ Cuál era el problema que investigaba Galois ?

Desde el siglo IX existían formas de resolver ecuaciones aunque de grados no elevados. De este proceso de búsqueda nosotros recibimos la capacidad de manipular los coeficientes de una ecuación cuadrática (de segundo grado); bajo las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíz; para encontrar el valor de la incógnita que ellas contienen. Esta técnica es conocida como "Resolución por Radicales" y seamos matemáticos o no, se mantiene remanente en nuestra mente la conocida fórmula de Bashkara:

A principio del siglo XIX ya habían disponibles fórmulas similares hasta para ecuaciones de cuarto grado (orden cuatro, una de aquellas ecuaciones donde la incógnita al menos una vez aparece multiplicada 4 veces por si misma).

Resolución de una ecuación de Grado Cuatro:

Pero ya desde el Renacimiento y 200 años más tarde, las ecuaciones de grado quinto decepcionaban y confundían a los matemáticos, porque era imposible encontrar una resolcuión en el estilo de los radicales. Parecía que la naturaleza (el universo) establecía una ruda distinción entre las ecuaciones cuárticas y quínticas. No hay duda que las ecuaciones de grado cinco o más existen, así lo prueba el teorema fundamental del álgebra ( Teorema Fundamental del Álgebra (Wikipedia) ), pero otra cosa es encontrarlas ....

En la "Noche Fatal de GALOIS", este joven matemático demostró que las ecuaciones de grado quinto y mayor NO pueden ser resueltas por la manipulación arirmética de sus coeficientes .... Para lograr esto, Galois introdujo una idea nueva: la idea de GRUPO.

Pero, ¿ qué es un GRUPO ?

En un diccionario : Grupo es una estructura algebraica, provista de tres axiomas particulares, estudiada en la rama denominada Teoría de Grupos.

Más formalmente (Wikipedia) : En matemáticas, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son:

1) Tener la Propiedad Asociativa,
2) Tener Elemento Identidad y
3) Tener Elemento Inverso.
4) Cumplir la propiedad de la Clausura.

En palabras sencillas : Es un conjunto de operaciones que se aplican sobre algo, con la propiedad de que si alguna operación del conjunto es seguida por cualquier otra operación de ese conjunto, el resultado también puede ser logrado por una sola operación del conjunto. Las operaciones reciben el nombre de elementos del grupo, y su número se llama orden del grupo.

Veamos un ejemplo:

Pensemos en nuestra cabeza (solidaria al cuerpo) y tengamos en mente esta cuatro órdenes:

a) Cabeza quieta.
b) Mirar a la Izquierda.
c) Media vuelta (esto moviliza el cuerpo)
d) Mirar a la Derecha.

Ahora ejecutemos seguidamente: Mirar a la Izquierda seguida de Media Vuelta:

Un secuencia de este tipo se llama MULTIPLICACION de OPERACIONES.

Si analizamos lo que aquí pasa, estas dos operaciones pueden ser reemplazadas por una sola: Mirar a la Derecha.

Las cuatro operaciones anteriores conforman un grupo porque ellas cumplen los axiomas de grupo:

1) Propiedad Asociativa: Si el producto de dos operaciones es seguida de una tercera, el resultado es el mismo que si la primera operación se continúa con el producto de la segunda y la tercera.

2) Identidad: Hay exactamente una operación que NO produce efecto alguno, en nuestro caso es "quieto".

3) Existencia de Inverso: Para cada operación existe una operación inversa, lo que significa que la ejecución de una operación y de su inversa es equivalente a la operación de identidad. En este ejemplo "mirar a la izquierda" y "mirar a la derecha" son inversas la una de la otra, mientras que "Cabeza Quieta" y "Media Vuleta" son cada una la inversa de si misma.

4) Clausura: El producto de cualquier par de operaciones equivale a una sola operación del conjunto.

De forma similar, el conjunto Z de los números enteros ( Z= -infinito, ....-3, -2, -1, 0 , +1, +2,+3, ....., + infinito ) asociado a la SUMA posee una estructura de Grupo.

¿ Y cuál fue la genialidad de GALOIS ?

la genialidad de GALOIS fue demostrar de manera definitiva que las ecuaciones ,como los propios números (por ejemplo los enteros recién aludidos), tienen una identidad algebraica oculta, una estructura propia, una vida interior. Correspondían, contenían, -no eran- un grupo ....

Paradoja Nanach-Tarski

2012-01-20T06:34:00.001-08:00

By newencec | View this Toon at ToonDoo | Create your own Toon

guauuuuuu, cuantes veces reproché a mis aprendices ????

2012-01-19T07:51:00.001-08:00

Tomado de Gaussianos (Genial!)

2012-01-19T07:47:00.001-08:00

La paradoja de Banach-Tarski

Vamos primero con un enunciado de la paradoja:

Si tomamos la esfera S² (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol

Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:

La paradoja de Banach-Tarski por Carlos Ivorra
La paradoja de Banach-Tarski en Tío Petros

La habitación de Fermat

2012-01-19T05:26:00.001-08:00

"el mundo está como estaba"

así termina la película "La habitación de Fermat" (España, 2007, Thriller, Intriga)

"sabes lo que son los números primos?

porque si no sabes lo que son los números primos es mejor que os vayáis de aquí"

así comienza la película "La habitación de Fermat" (de Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña)

4 matemáticos se ven involucrados en una encrucijada que pone en riesgo sus vidas

y deben utilizar -en esta situación límite- el ingenio como única herramienta posible ....

La Conjetura de Golbach es una conjetura porque todavía NO ha sido demostrada (= Problema Abierto).

El teoría de números es uno de los problemas abiertos más antiguos.

A veces se le califica como el problema más difícil de la ciencia, en todos los tiempos.

La Conjetura de de MUY SIMPLE ENUNCIADO :

" Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de 2 números primos (*) (Goldbach 1742) "

Puedes verla en dos partes en:

Peli La habitación de Fermat

Poster (Adjunto)

(*) : Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

La habitación de Fermat

2012-01-18T07:30:00.001-08:00

ohhhhhhhhhhhh

2012-01-18T04:40:00.001-08:00

L'art de la formule ....

2012-01-18T04:16:00.001-08:00

un chileno en cada rincón del planeta (en este caso es chileno y matemático)

2012-01-18T03:56:00.001-08:00

"Mathématiques, un dépaysement soudain", de la Fundación Cartier:
Chileno participó junto a David Lynch en un original montaje

El matemático Giancarlo Lucchini trabajó con el conocido director de cine en una singular exposición abierta en París, y que funde esa rama de la ciencia con arte contemporáneo.

María Belén Bravo

Con sólo 23 años, el matemático chileno Giancarlo Lucchini ya cuenta entre sus anécdotas el haber sido parte del comité organizador de la original exposición de la Fundación Cartier que mezcla arte contemporáneo y matemáticas. Gracias a "Mathématiques, un dépaysement soudain" (matemáticas, un desplazamiento súbito), que actualmente está abierta en París, conoció y trabajó no sólo con reconocidos matemáticos, sino con artistas de renombre mundial, como el afamado director de cine estadounidense David Lynch.

Una llegada fortuita

Ni siquiera él sabe cómo llegó su nombre a los organizadores de la muestra. El joven, especializado en geometría algebraica, comenta que los directivos de la fundación querían hacer una muestra de matemáticas y estaban contactando a varios especialistas. "A alguno se le ocurrió que iban a necesitar a alguien a tiempo completo. Hablando con algunos matemáticos, alguien les pasó mi nombre", recuerda el joven.

El comité organizador de la muestra fue liderado por el director de la Fundación Cartier, Hervé Chandés; y tuvo como integrantes al astrofísico Michel Cassé y a Jean Pierre Bourguignon, director del Institut des Hautes Études Scientifiques (Instituto de Altos Estudios Científicos), el mayor centro de estudios matemáticos de Francia.

Durante los trece meses que demoró el montaje de la exposición, Lucchini tuvo la responsabilidad de hacer de puente entre los matemáticos que participaban entregando ideas a los artistas, que se basaron en ellas para crear las obras que luego montaron en la exposición.

"Además, ayudé a hacer el libro-catálogo de la exposición, y ¡hasta firmé una obra de arte con uno de los artistas!", comenta el joven.

La obra a la que se refiere es "A mathematical sky" (Un cielo matemático), que realizó junto al pintor francés Jean-Michel Alberola: un mural de constelaciones diseñado en computador e inspirado en el matemático Henri Poincaré, conocido como el último universalista por haber incursionado en todas las áreas de las matemáticas.

Lo que representó toda una experiencia para el chileno, fue trabajar con el director estadounidense David Lynch, quien fue el responsable de diseñar el primer piso de la exposición, el cual está dividido en dos sectores. En el primero predomina una exposición de videos, y en el segundo se ubica la biblioteca virtual o "biblioteca de los misterios", que fue montada por el matemático ruso Misha Gromov y en la que también intervino Lucchini. Esta consta de un video donde se muestra una treintena de libros de grandes pensadores de todos los tiempos, entre ellos Arquímedes y Platón.

En el subterráneo se despliega una muestra del fotógrafo Raymond Depardon y su esposa Claudine Nougaret, directora y sonidista. Se trata de una película de 32 minutos, en la que los matemáticos participantes dicen lo primero que se les viene a la cabeza durante cuatro minutos. En este mismo piso se ubicó, en una única sala, la escultura del fotógrafo japonés Hiroshi Sugimoto, que con sus tres metros de altura representa el infinito.

Esta muestra de arte contemporáneo que se encuentra en las instalaciones de la Fundación Cartier, ubicada el barrio parisino de Montparnasse, estará abierta hasta fines de marzo.

Sacará un libro

La experiencia con la Fundación Cartier permitió que Giancarlo Lucchini conociera a su colega ruso Misha Gromov. Con él planea editar un libro a finales de enero, que tratará sobre los extractos que se muestran en el video de la biblioteca virtual, parte de la exposición "Mathématiques, un dépaysement soudain".

Harlekin

2012-01-17T04:46:00.001-08:00

Tomado de Cinismo Ilustrado ....

2012-01-16T07:51:00.001-08:00

humor para personas inteligentes

Rogelio, el pato culto, ha preparado una serie de gags matemáticos para su divertimiento. Como lo aclara el pato en su libro "Semiótica del humor compuesto", el humor no es "...la carcajada vulgar de la comedia barata, (sino) el juego hábil de significantes que deconstruye un significado en algo que genera gracia". Lo que sea que eso signifique:

www.cinismoilustrado.com

Matemago Fernando Blasco

2012-01-16T05:58:00.001-08:00

El Cono de Hypathia

2012-01-16T04:22:00.001-08:00

EL CONO DE APOLONIO – SECCIONES CÓNICAS

Estimado Sr/a.:

Me presento, soy Fco. Treceño Losada, tornero artesano de madera. Tengo un pequeño Taller Artesano en la provincia de Valladolid –España- en el que trabajo yo sólo, por lo que mi producción es limitada y alejada de las tiradas industriales. Puede conocerme a través de la Web: www.artmadera.com

Me dirijo a Usted para darle a conocer El Cono de Apolonio. Esta figura de madera fue recuperada y puesta de relevancia tras el estreno de la película Ágora de Alejandro Amenábar, que trata sobre la vida de Hipatia, hija de Teon, matemática y astrónoma.

Desde hace meses me dedico única y exclusivamente a tornear es tipo de cono en madera de Roble, Castaño y Nogal. Es una pieza que lleva muchas horas de trabajo complejo, laborioso y completamente artesanal.

Si el Cono de Apolonio es de su interés y desea conocer pormenores del torneado de esta pieza o le apetece ver una buena colección de fotografías de diversos conos de Apolonio, le invito a que revise los siguientes enlaces:

-Fotografías del Cono de Apolonio:

http://www.artmadera.com/mostrar_galeria.php?id_galeria=17

-Información sobre el Cono de Apolonio:

http://www.artmadera.com/cono-de-apolonio

-Tipos de conos de Apolonio:

http://tienda.artmadera.com/familia_Cono_de_Apolonio_4002

O si prefiere ver cómo se montan y desmontan mis conos, vea el siguiente video:

http://www.artmadera.com/videos-artmadera

Cono de Apolonio
Ver vídeo

Sin otro particular, le agradezco su atención.
Reciba un cordial saludo.

Fco. Treceño

F. Treceño
http://www.artmadera.com/
http://www.facebook.com/artmaderaft
http://www.youtube.com/user/artmaderaa

Una de las frases más ingeniosas en matemáticas ....

2012-01-16T02:42:00.000-08:00

" en las matemáticas uno no entiende las cosas, sólo se acostumbra a ellas .... "

(del matemático húngaro J. von Neumann)

un capítulo de Big Bang Theory (the wikipedia

2012-01-15T17:12:00.000-08:00

Link Capítulo 0:

http://videozer.com/video/zSr8xB

The Big Bang Theory (Big Bang en España, La teoría del Big Bang en Hispanoamérica) es una serie de televisión estadounidense estrenada el 24 de septiembre de 2007 por Warner Channel, que emite la CBS en Estados Unidos y Warner Channel en varios países de Latinoamérica y Europa.

Está producida por la Warner Bros y Chuck Lorre¹ y en marzo de 2009 se anunció la renovación para una tercera y cuarta temporada.² Fue ese mismo año cuando la comedia ganó un Teen Choice Awards en la categoría "Mejor serie de comedia" y Jim Parsons un premio por sus logros individuales en la serie.³

La primera temporada iba a constar de 22 episodios, pero debido a la huelga de guionistas de Hollywood se vio reducida a 17. La CBS empezó a emitir la segunda temporada en Estados Unidos a partir del 22 de septiembre de 2008, la tercera comenzó el 21 de septiembre de 2009 y la cuarta temporada se estrenó el 23 de septiembre de 2010. La quinta temporada se estreno el 22 de septiembre de 2011.

En enero de 2011, los productores de la comedia estadounidense informaron de que se llegó a un acuerdo sustancioso con la cadena CBS, para que se emitan nuevos episodios hasta 2014, asegurándose tres temporadas más. La revista The Hollywood Reporter informó de que se llegó a un acuerdo entre la productora, Warner Bros. y CBS respecto al tema de la publicidad, quedando solo pendiente el asunto de la contratación de los actores.⁴

Selberg y la Simplicidad (Tomado de Café MaTEMÁTICO, BLOG)

2012-01-14T17:24:00.001-08:00

Selberg y la simplicidad

Posted on 07/01/2012

Atle Selberg nació en Langesund, Noruega, el 14 de junio de 1917 y murió en Princeton, EE.UU. el 6 de agosto de 2007. Selberg fue un gigante de las Matemáticas del siglo XX. Sus contribuciones a las Matemáticas son tan profundas y originales que su nombre siempre será una parte importante de la Historia de las Matemáticas. Su especialidad fue la teoría de números en un amplio sentido de la palabra.

La famosa Fórmula Fundamental de Selberg le condujo en 1948 a una demostración elemental del Teorema de los Números Primos. Esto causó una gran sensación en la comunidad matemática porque la posibilidad de una demostración elemental era cuestionada por los grandes matemáticos de la época. Estos resultados le hicieron obtener la Medalla Fields en 1950, el máximo galardón en Matemáticas.

Selberg fue preguntado en 2003 si pensaba que la Hipótesis de Riemann era correcta. Su respuesta fue que si algo en nuestro universo es correcto, esto debe ser la Hipótesis de Riemann, si no por otras razones, sí por razones puramente estéticas. Selberg siempre puso énfasis en la importancia de la simplicidad de las Matemáticas y en que las ideas simples son las que sobrevivirán.

La novedad de Bourbaki (un sueño Euclideano)

2012-01-12T05:59:00.001-08:00

El punto de partida del colectivo Bourbaki fue la teoría de conjuntos. La idea era derivar TODO el universo matemático desde un único punto inicial: la teoría de Conjuntos, como anteriormente, en la antiguedad, Euclides había desarrollado una geometría a partir de los primitivos conceptos de punto, línea, plano, etc.

El propósito del colectivo era poner en relieve la unidad de las matemáticas. El propósito era escribir libros, definir elementos matemáticos siguiendo métodos axiomáticos que nunca se apartasen del objetivo de la formalización absoluta. El tratado de las matemáticas debía ser lo más riguroso posible.

Para lo anterior utilizó dos métodos muy eficaces: Uno era la axiomatización y el otro la inclusión de la noción general de estructura. La axiomatización fue tomada directamente de Euclides -mejorada más tarde por Hilbert- y la noción de estructura en gran parte creada por el colectivo Bourbaki y en parte tomada de los avances linguísticos de la época.

En el futuro, la decisión de arrancar el edificio axiomático Bourbakiano desde la Teoría de Conjuntos, preñada de profundas paradojas e incoherencias, repercutió en la continuidad del sueño del colectivo Bourbaki.

Lévi-Dtrauss, Estructuralismo y Matemáticas

2012-01-12T05:59:00.000-08:00

En el año 1942, Claude Lévi Strauss trató de aplicar el concepto de estructura -proveniente del lingüista Roman Jakobson- en el área de la antroplogía. En este intento se vio en la necesidad de pedir herramientas a un matemático.

El matemático que ayudaría a este gran antropólogo sería André Weil, perteneciente y cofundador del colectivo matemático francés Bourbaki (Wikipedia).

Weil recurrió al concepto de estructura de las matemáticas, para resolver un problema de Strauss y con ello abrió un vínculo real, concreto entre la antropología y las matemáticas, camino que luego seguirían más tarde otros campos (humanistas) del saber. A partir de la definción rigurosa de lo que significa estructura en matemáticas, todo el espectro de las ciencias -desde las ciencias sociales y las humanidades hasta la economía y la psicología- fueron tributarios de la rigurosidad del colectivo Bourbaki.

El estructuralismo es un método de análisis intelectual que proporciona un marco para comprender y organizar áreas de estudio relacionadas con la producción y la percepción del significado. (...) El estructuralismo es interdisciplinario y multidisciplinario, y ha tenido influencia en las matemáticas, la filosofía, la linguñistica, la antropología y la crítica literaria. (...) El surgimiento del estructuralismo produjo una revolución en el pensamiento que en tiempo previo era hegemonizado por el existencialismo de sartre (Aczel, 2006).

El supuesto fundamental del estructuralismo es que todo el comportamiento humano surge de una capacidad de estructurar innata. Esa habilidad, latente en el cerebro humano, da origen al lenguaje. Así mismo, las mismas estructuras latentes en el cerebro humano dan origen a los mitos, a la creatividad, a las distintas formas de comportamiento social. (Aczel, 2006).

El estructuralismo trata de las relaciones entre las partes y el todo. La totalidad adquiere prioridad lógica y las relaciones son más importantes que las entidades que vinculan. La estructura oculta siempre es mucho más importante que lo evidente. Lo relevante es el simbolismo y no las entidades simbolizadas. (Azcel, 2006).

Nota: En el campo de la psiquiatría y el psicoanálisis, Lacán afirma que el inconsciente está estructurado como un lenguaje y es en esta mirada que Lacan hace uso de las ideas estructuralistas de la lingüística.

Claude Lévi-Strauss nació en Bruselas en 1908. La tesis doctoral de lévi-Staruss fue publicada en 1943 bajo el título de "Las estructuras elementales del parentesco", uno de los clasicos más importantes -de todos los tiempos- en antropología.

Pero mientras preparaba su tesis Lévi-Strauss se dio cuenta de que su trabajo era incompleto. La tesis era un estudio de los sistemas de parentesco en las tribus originarias australianas que se quedaba en el análisis empírico descriptivo de las autorizaciones de casamiento al interior de las tribus. Lèvi-Strauss percibió que el preoblema que él estudiaba tenía una estructura profunda subyacente que necesitaba conocimientos matemáticos avanzados para aprehenderlo.

Lévi-Strauss tuvo mucha suerte, porque al poco tiempo se pondría en contacto con el colectivo Bloubaki. Conoció en Nueva York a André Weil, quie por medio de la teoría de grupos descifró formalmente el código del parentesco humano y puso al descubierto la estructura interna de este importante problema problema antropológico estableciendo una analogía con la estructura de un grupo matemático. (Azcel, 2006). La tesis de Lévi-Strauss incluyó un apéndice matemático preparado por Weil para entender formalmente la estructura básica del parentesco en un pueblo originario.

La publicación de este libro está considerada "el" acto fundacional del estructuralismo.

(Ideas y texto tomados de: El Artista y el matemático, de Amir D. Aczel, edit. GEDISA)

Paenza Maravilloso !!!!

2012-01-12T05:23:00.000-08:00

Parte 1:

Parte 2:

Bourbaki Nicolás

2012-01-10T05:12:00.000-08:00

Bourbaki Nicolás

Bourbaki Nicolás: Grupo de matemáticos franceses que para los entornos de 1930 provocó una completa revolución en las matemáticas del orbe entero, cuestión que incluso repercutió en muchas otras ciencias, incluso en las ciencias sociales. El nombre de Nicolás Bourbaki, que asociaron al matemático autor de muchas publicaciones, no corresponde a un matemático de existencia real, proviene de bromas estudiantiles hechas en la escuela normal de Francia, en la que los estudiantes asustaban a los novatos con Teoremas inexistentes de un tal Bourbaki, que en la historia real correspondió a un militar de relativa fama.

El colectivo Boubaki fundó su creación en el punto de partida elemental: la teoría de conjuntos desde donde derivaron un universo matemático de gran amplitud en donde las perspectivas de rigurosidad axiomática y estructura matemática fueron muy relevantes.

El grupo Bourbaki revolucionó el quehacer matemático en la Francia de la posguerra.

de Wikipedia:

Nicolas Bourbaki es el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que en los años 30 del siglo XX se propusieron revisar los fundamentos de las matemáticas con una exigencia de rigor mucho mayor que la que entonces era moneda corriente en esta ciencia. Fundado en 1935, inició la publicación de sus monumentales Elementos de matemáticas de acuerdo con el nuevo canon de rigor y el método axiomático, pretendiendo cubrir las bases de todas las matemáticas. Hasta el presente (2006) ha redactado los volúmenes de «Teoría de conjuntos», «Álgebra», «Topología general», «Funciones de una variable real», «Espacios vectoriales topológicos», «Integración», «Álgebra conmutativa», «Variedades diferenciables y analíticas», «Grupos yálgebras de Lie» y «Teorías espectrales». Estos volúmenes contienen notas históricas que han sido publicadas aparte, formando unos apreciados, aunque muy incompletos aún (2006) volúmenes cuyo corpus recibe el nombre de Elementos de Historia de las Matemáticas.

Su impacto en las matemáticas contemporáneas ha sido enorme, y desde los años 50 puede decirse que su exigencia de rigor ha sido universalmente aceptada en matemáticas, junto con el estilo particular en que la expresan, siendo muy diferentes los textos actuales de los prebourbakianos. Este éxito ha vuelto innecesaria la continuación de su obra, pues desde los años 60todos los textos se redactan ya siguiendo sus exigencias. No obstante, en París sigue desarrollándose el Seminario Bourbaki, donde cada año se exponen los principales avances de las matemáticas.

La "tragedia" de este titánico intento de fundamentar todas las matemáticas es que eligieron como punto de partida la teoría de conjuntos y, cuando en los años 1950 y 1960 apareció la teoría de categorías como supuesto principio unificador de todas las matemáticas conocidas, decidieron con pleno conocimiento de causa no seguir ese camino («ese infierno» en sus propias palabras) renunciando así a su propósito inicial.

Desde el principio trataron de mantener la simpática ficción de que Nicolas Bourbaki era un matemático «poldavo». Por eso el nombre de sus miembros, que cambian a lo largo del tiempo, es uno de los secretos mejor guardados (al igual que su forma de organizarse), aunque se sabe que en su mayoría son franceses. En su página web ya reconocen que fue fundado inicialmente por Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt y André Weil. Eran antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París que, a iniciativa de Cartan y Weil y bajo el grito de guerra "todos deben interesarse en todo", se propusieron redactar textos nuevos para sus clases. Parece seguro que los mejores matemáticos franceses de mediados del siglo XX (Jean-Pierre Serre, Alexandre Grothendieck, Laurent Schwartz,Pierre Samuel, Jean-Louis Koszul, Armand Borel, Pierre Cartier, Roger Godement, ...) en algún momento han formado parte, al igual que alguno de otra nacionalidad (Samuel Eilenberg, John Tate, ...).

Página Oficial del Grupo Bourbaki: Grupo Bourbaki - Página Oficial

imágenes que pasan por mi cabeza ....

2012-01-09T04:35:00.000-08:00

un blog es INCREÍBLE porque estas imágenes que pasaron por mi cabeza, ahora las estoy compartiendo contigo ....

Área de Círculo: Una demostración sin palabras !!!! (tomado de Gaussianos)

2012-01-06T05:41:00.001-08:00

Hacer doble click en la figura para agrandar

Un canto robótico para vos !!!!

2012-01-06T04:43:00.001-08:00

En torno al Método Singapur y su utilización en Chile

2012-01-06T04:33:00.001-08:00

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=205651

Exposición Matemática

2012-01-05T05:09:00.001-08:00

Exposición Ritmo GeométricoPalavicino(1918-2008)–Manning(1982)–Soto(1970)–Kurzer(Trabajos de los años 1933-1934) Inauguración (Opening) Martes 10 de Enero de 2012 a las 20.00 hrs.


Juan Héctor Palavicino, sin título, técnica mixta sobre papel, 20 X 16 cms. Año 1970.

Resolver problema de Sistema de Ecuaciones Cuadráticas

2012-01-05T04:02:00.000-08:00

1) ¿ Qué curvas son ?
2) ¿ Cómo se resuelve ?
3) ¿ Cuáles son las intersecciones ?

Imagen del Sistema de Ecuaciones Cuadráticas (hecho con Cabri)

2012-01-05T04:00:00.001-08:00

Respuesta al Sistema de Ecuaciones Cuadrático

2012-01-05T03:59:00.001-08:00

Mi hijo Inti Simon, por su propia voluntad estudia las tablas ....

2012-01-03T06:38:00.001-08:00

un pequeño problema de ingenio ....

2011-12-28T05:58:00.001-08:00

sea una vaca .... HUMOR MATEMATICO

2011-12-28T04:41:00.000-08:00

Una asociación de ganaderos quiere conseguir mejorar una raza de vacas para que den más leche, y reúnen a varios científicos y los asignan en grupos independientes para que busquen varias soluciones, y luego adoptar la de mayor rendimiento.
Al cabo de un plazo preestablecido, empiezan a leer los resultados. Unos criadores de ganado proponen un plan de cruzamientos, y basándose en experiencias anteriores se comprometen a lograr una mejora del 3%.
El grupo de ingenieros genéticos propone introducir ciertos genes que deberían mejorar la productividad un 10%. Un equipo de veterinarios propone unas modificaciones en los establos que harían que las vacas fuesen más felices, y producirían un 2% más de leche, que habría que sumar a las anteriores mejoras. Otro equipo propone un cambio de dieta que mejoraría el rendimiento en un 7%, otros quieren suministrar hormonas a las vacas para subir un 8%. Entonces aparece el equipo de los matemáticos, que dicen que son capaces de mejorar la producción en un 300%.
Todo el mundo se pone muy contento, y se apresuran a leer el proyecto, que empieza diciendo: "Sea una vaca esférica .."

(Tomado de Divulgamat)

un buen cuento ....

2011-12-28T04:38:00.001-08:00

Va a haber una convención de matemáticos e informáticos, y dos grupos de estudiantes de una universidad van en el mismo tren. Todos los matemáticos han comprado su billete, pero los informáticos han comprado solo uno, así que los matemáticos están preparándose para reírse a su costa.
En esto que uno de los informáticos grita: REVISOR! Y todos los informáticos se meten en el cuarto de baño. El revisor llega, les pide los billetes a los matemáticos, y al llegar al cuarto de baño llama a la puerta y dice: EL BILLETE, POR FAVOR!. Entonces los informáticos pasan el billete por debajo de la puerta. Después, cuando el revisor ha pasado, los informáticos vuelven a sentarse y se ríen de los matemáticos.

Al acabar la convención, todos los estudiantes se vuelven a encontrar en la estación del tren y los matemáticos deciden usar el mismo truco, así que compran un solo billete para todos ellos, pero cuando suben al tren se encuentran con que los informáticos no han comprado ni un solo billete, así que de nuevo se preparan para gozar de su venganza... Al cabo de un rato, alguien grita: REVISOR! Y entonces todos los informáticos se dirigen a un cuarto de baño y todos los matemáticos a otro. Al cabo de unos segundos de haber cerrado las puertas, los informáticos abren su puerta y uno de ellos asoma su cabeza y mira cuidadosamente a su alrededor; luego sale del cuarto, se dirige al cuarto de baño de los matemáticos, llama a lapuerta y dice: EL BILLETE, POR FAVOR!

(Tomado de Divulgamat)

Mis (Mejores) Mentiras Matemáticas ....

2011-12-27T02:45:00.000-08:00

MMMM = Mis Mejores Mentiras Matemáticas (M elevado a 4)

te estoy enviando mis mejores mentiras matemáticas .... y no es un intento por vulnerar una ciencia que a todos ojos parece tan perfecta, sino expresar que estos divertimentos me han servido para poner a las matemáticas - "esa aburrida y difícil disciplina" - en un centro sensible de discusión, para humanizarla, para generar carcajadas, para construirla junt@s ..... Lo más divertido es que mis propios amigos (colegas) matemáticos me han creido a pie juntillas, lo que muestra por un lado su candidez maravillosa y tierna, esa candidez que atesoramos los que pispamos los asombros (matemáticos) del universo .... veamos:

1) Mentira INVOLUNTARIA en torno a Hypathia:

Cuando yo era chico, usaba un texto de consulta que traía al inicio de cada capítulo la imagen y una pequeña biografía del algún(a) matemático(a) famoso(a). En los contenidos de factorización de un trinomio cuadrático, con factor del término cuadràtico distinto de 1, aparecía la imagen de la bella Hypathia. Yo me enamoré de esa imagen y popularicé -equívocamente- el protocolo de factorización del trinomio como una de las genialidades de Hypathia por décadas, pues cuando lo enseñaba decía -muy seriamente- que era de su autoría. El tiempo me abrió adecuadamente al entendimiento de la desconexión de las pequeñas biografías incluidas en el texto con los contenidos del mismo. En todo caso le di una fama a Hypathia !!!!!

2) Mentira en torno a los fractales:

Cuando fue la APEC en Chile, tras el año 1990, yo hice una edición especial de la revista Perra de la Calle en papel, con contenidos ANTI-Apec. Generé una noticia falsa, surrealista que titulaba: "Activistas contra el G8 resisten brutal represión adoptando estructura fractal en la disposición de sus cuerpos encadenados" .... algunos anarcos criollos me buscaron para que les diera más antecedentes, tras leer la impactante noticia .... ¿qué es un fractal ?, ¿ hay fotos ? me preguntaban entusiasmados ....

3) Mentira en torno a la postura de una mesa de matemáticas entre las mesas de tarot:

En la universidad conté vía un correo electrónico masivo que en las afueras del metro Salvador -espacio habitual de tarotistas- yo había instalado una mesa que decía: "se regalan y se resuelven problemas de matemáticas" y que nadie, nadie, nadie había consultado ni pedido nada .... Un profesor de la universidad Alberto Hurtado me dijo: "podrías haber avisado para haberte pasado a saludar" ....

4) Mentira en torno al blog y su traducción al portugués:

Más de 50 personas ingresaron a mi blog Aleph-Revista-Matemática para votar -en un voto electrónico- en pos de juntar 100 votos o firmas que permitirían la traducción del blog al portugués ofrecida por la inexistente SOCIEDAD MATEMATICA IBEROAMERICANA con sede en Brasilia .... algunas amigas revotaron el correo (explicación solidaria de por medio) y luego tuvieron que explicar que era talla ..... casi me mataron ....

ja ja ja
no hubo malas intenciones sino la surrealista mirada
de provocar un "horizonte de sucesos" matemático !!!!

Un jueguito de ingenio .....

2011-12-23T07:31:00.000-08:00

ja ja ja

2011-12-23T06:57:00.000-08:00

¿Quién fue el esposo que le dijo a su esposa

¡Mi amor, que buen físico tienes!?
...
...
...
...
...
...

Albert Einstein.

quedar estupefacto ?

2011-12-23T06:49:00.000-08:00

Literatura y Matemáticas .....

2011-12-23T06:46:00.001-08:00

Autor: David Foenkinos
Texto:

Ese hombre era de verdad capaz de todo. ¿Quien se atrevería a llegar tarde a una cita así [con su jefe en la empresa]? ¿Quien tenía la capacidad de desafiar de esa manera a la autoridad? No había nada más que decir. Ese hombre se merecía a Nathalie. Era incontestable. Era matemático. Era químico.
Fuente: Editorial Seix Barral, 2011.

Un jueguito de ingenio, tomado de PUBLIMETRO.cl

2011-12-22T05:24:00.000-08:00

Respuesta al problema anterior ..... (de Publimetro)

2011-12-22T05:23:00.000-08:00

a mi me dan 26 posibilidades, ¿ y a Uds. ?

Enunciado del Problema:

Respuesta:

lo que yo hago es pensar así:

Para que la palabra sea efectiva, debe partir por la letra "C". Luego en ello hay tres grupos de palabras, pues hay tres letras "C" en el set de letras. Una vez elegida una letra "C" con la cual partir, voy llenando todas las posibilidades y tendremos entonces finalmente:

Un corazón en Origami (de la Covacha ...)

2011-12-19T05:42:00.001-08:00

Ábacos o Calculadoras ????

2011-12-14T07:15:00.001-08:00

una ilusión impresionante y sencilla (tomado de Covacha Matemática)

2011-12-14T07:10:00.000-08:00

el futuro de la enseñanza ....

2011-12-14T07:08:00.001-08:00

Límite de Velocidad

2011-12-14T07:03:00.000-08:00

que grafitis en la Serena Chile

2011-12-14T07:02:00.001-08:00

una mirada (del BID)

2011-12-14T06:53:00.001-08:00

Una opinión inquietante .... ¿tú qué dices? (de Covacha matemática)

2011-12-14T06:48:00.000-08:00

"TEDxManhattanBeach - John Bennett - Why Math Instruction Is Unnecessary"

video via [TEDxTalks]@Youtube

John Bennett, maestro de matemáticas de escuela secundaria y homeschooling, expone en su charla presentada en TED×ManhattanBeach sobre como ha cambiado su punto de vista sobre el curriculo de matemáticas en el sistema educativo estadounidense. Menciona que pasó varias etapas en su forma de enseñar antes de tener su realización:

Etapa 1: Optimista: "Voy a convertir a todos en excelentes matemáticos, la matemática está en todos lados".

Etapa 2: Útil: "La matemática es la herramienta que necesitarás para todos tus trabajos".

Etapa 3: Obligatoria para la prosperidad: "Tienes que sacar buena calificación. Tendrás que utilizarla para poder pasar el GED y el College Board y así entrar a la universidad y conseguir un buen empleo".

Etapa Final: Consejero: "Estoy aquí para ayudar."

Al ver que en cada una de las etapas no veía tantos estudiantes interesados en campos que requieran un conocimiento de destrezas más allá del nivel secundario, más aún con ansiedad matemática, Bennett dedujo una propuesta bastante radical: que el que quiera estudiar matemáticas de alto nivel que lo haga, y aquellos que no están interesados los ponga a jugar juegos lógicos (los cuales usa en su salón de clases, hasta ha creado libros con acertijos) para desarrollar la deducción e intuición y así revivir sus destrezas de pensamiento crítico y analítico. En otras palabras, la persona en el mundo real necesita solamente aritmética, sentido numérico, y pensamiento deductivo, intuitivo, crítico, y analítico.

problema ....

2011-12-14T06:45:00.000-08:00

Pico, Centro, Nada (Tomado de Covacha matemática)

2011-12-14T04:44:00.000-08:00

Pico, centro, nada.

Si tienes que hacer una fila extensa o esperar en alguna oficina y solamente tienes la compañía de otra persona, pues este juego es para tí.

"Pico, centro, nada" es un upgrade al juego de adivinar el número, donde se le dan pistas al jugador para así determinar cuál es el número misterioso.

Reglas:

El jugador 1 escoge mentalmente un número entre el 11 y 99.

El jugador 2 tratará de adivinar dicho número basado en tres pistas que le dirá el jugador 1 luego de cada intento:

pico: se dará esta pista cuando el jugador 2 adivina uno de los dígitos que compone la cifra correctamente, pero está en el valor posicional equivocado.

centro: se dará esta pista cuando el jugador 2 adivina uno de los dígitos que compone la cifra en el valor posicional correcto.

nada: ninguno de los dígitos en la cifra fue adivinado.

Cuando el jugador 2 adivine correctamente el número, se invierten los papeles. El jugador que encuentre el número en la cantidad menor de intentos gana.

-----------------------

EJEMPLO:

Éste juego sirve para desarrollar destrezas de razonamiento lógico y el pensamiento deductivo, donde eliminamos o reorganizamos dígitos hasta llegar a la solución. Una forma más facil de jugarlo es escribir los dígitos del 0 al 9 en un papel y tacharlos cada vez que se ofrezca una pista.

Dónde está el error ??? (Tomado de Covacha Matemática)

2011-12-14T04:43:00.001-08:00

Tomado de la Covacha Matemática ....

2011-12-14T04:09:00.001-08:00

Nuevas implementaciones/complicaciones en el aprendizaje (RLFB XXI)

Escuela intermedia de Seattle incrementa su desempeño matemático sobre el promedio. ¿Su secreto? No utilizar el currículo recomendado.

36 escuelas en la nación estadounidense han estado complementando sus clases de matemática con el software de Salman Khan(creador de Khan Academy).

En estos tiempos, la forma en que escribimos los mensajes de texto y status en las redes sociales han afectado grandemente las reglas de gramática dentro del aula. Esto puede dar hincapié a las instituciones para que se tomen medidas drásticas para corregir los fallos. Por ejemplo, un colegio privado de Missouri comenzará en enero una condición especial a la hora de entregar trabajos escritos: hacerlos con cinco (5) errores o menos. De fallar esa estipulación, tendrían que rehacerlo, con la puntuación máxima, aunque lo haga al cien, de 75%.

Siguiendo con el punto anterior: contemplando a la gran mayoría de sus estudiantes fallar en la simple tarea de resumir en un párrafo un texto sin ningún error, el catedrático de Comunicación Social de la Universidad Javieriana, Camilo Jiménez,renuncia. En el escrito, Jiménez introspecciona en lo que lo llevó a su decisión, principalmente su desconección con los nativos digitales.

Se reinstala la Asociación de Futuros Maestros en el RUM

Ésto explica la parte de las películas donde la persona, tras oir la explicación llena de palabras científicas, dice "¿lo puedes decir en español?"

Para finalizar, esta época festiva es una de reflexión y recogimiento. es por esto que es un buen momento para que vean la presentación que hizo Mario Nuñez (el DigiZen) en mayo sobre la sabiduría y espiritualidad en la era digital.

Secuencia Numérica ....

2011-12-09T06:56:00.001-08:00

Determinando el Nivel Cognitivo de un Problema de Matemáticas

2011-12-09T06:39:00.001-08:00

Determinando el Nivel Cognitivo de un Problema de Matemáticas

Educación K-12: El portal global de docentes - www.EdK-12.com

Determinando el Nivel Cognitivo de un Problema de Matemáticas

EdK-12.com - Regístrate Es Gratis y cualquiera puede unirse: http://www.edk-12.com/Login.aspx?lang=ES

Descripción:

En nuestra economía global, el reto será asegurar que grupos completos de estudiantes no estén limitados en el grado al cual ellos están expuestos a niveles altos de aprendizaje de las matemáticas. Una de las implicaciones será la necesidad de que todos los estudiantes estén expuestos a un número balanceado de situaciones problemáticas y tareas que requieran que ellos trabajen las matemáticas a través del espectro completo de “demanda cognitiva” de las matemáticas, una vez que esta se haya considerado apropiada.

Para alcanzar esta demanda, los educadores necesitarán estar dispuestos a evaluar el nivel de demanda cognitiva de las trabajos de matemáticas que están siendo usados con los estudiantes y determinar qué modificaciones se requieren para incrementar el nivel de demanda cognitiva. Esta experiencia de aprendizaje es diseñada para ayudar a los educadores a identificar el nivel de demanda cognitiva de varios trabajos de matemáticas basados en criterios específicos y ayudarles en cualquier necesidad potencial de modificación de las lecciones existentes o del plan de estudio.

Objetivos:

Los participantes estarán en capacidad de analizar problemas de matemáticas para identificar el nivel de demanda cognitiva que los estudiantes requieren para completar una tarea (trabajo) de matemáticas.

Los participantes estarán en capacidad de alinear los indicadores de nivel de un grado a los niveles apropiados de demanda cognitiva.

El aprendizaje ocurre cuando la mente lucha para añadir nuevos conceptos al conocimiento existente. La aplicación de ideas fundamentales, hechos y procedimientos en matemáticas, es vital para que los estudiantes puedan comprender la manera como los números interactúan y se relacionan para explicar nuestro mundo.

Estudios como la investigación TIMSS y el meta-análisis conducidos por James Hiebert y Douglas Grouws, han ayudado a construir un sistema sobre el cual puede ser construida una instrucción matemática de alta calidad. En la base de este armazón hay dos ideas importantes:

(1) Las relaciones matemáticas deben ser hechas de manera explícita para los estudiantes.

(2) A los estudiantes se les debe dar oportunidades de aprendizaje que les permita luchar con conceptos matemáticos.

Hacer las matemáticas explícitas para los estudiantes significa que las metas de aprendizaje son establecidas claramente y que se hacen conexiones entre el conocimiento previo y el aprendizaje futuro. Maestros y estudiantes deben poner atención –de manera intencional y pública- a las relaciones matemáticas entre los hechos, ideas y procedimientos.

Hiebert y Grouws utilizan la palabra esfuerzo para significar que los estudiantes requieren reflexionar para que las matemáticas tengan sentid y dedicar así su esfuerzo a algo que no es inmediatamente evidente. Las oportunidades de aprendizaje para los estudiantes deben estar diseñadas de manera que les permita trabajar desde el borde del conocimiento actual, en desafíos realizables, para construir así nuevos conocimientos

El enfoque de estas sesiones de matemáticas es explorar maneras de crear lecciones que combinen estas características. Las experiencias de aprendizaje de los maestros están diseñadas para mejorar el plan de aprendizaje curriculum de matemática existente, normas y lecciones que están actualmente en vigor. Los maestros podrán identificar problemas clave dentro de los materiales existentes de manera que puedan ser maximizados y así construir oportunidades eficaces para que los estudiantes aprendan matemáticas.

En este curso vamos a ver cómo los educadores pueden evaluar la demanda cognitiva o la riqueza de los diferentes problemas a los cuales los estudiantes están típicamente expuestos. Para esto utilizaremos el Marco de Tareas desarrollado por el Proyecto QUASAR.

El proyecto QUASAR fue un estudio de cinco años, enfocado en mejorar la manera como las matemáticas eran enseñadas y aprendidas en seis escuelas urbanas de enseñanza intermedia. Investigó la conexión entre los tipos de trabajos utilizados en las clases y la naturaleza del compromiso del estudiante. Las principales conclusiones de este estudio incluyen:

La idea de que no todos las tareas de matemáticas son creados igualmente. Trabajos diferentes requieren diferente nivel de demanda cognitiva o nivel de pensamiento del estudiante para así generar una solución.
La demanda cognitiva puede cambiar durante una lección. Una tarea que puede comenzar como desafiante, puede no resultar de un alto nivel de conocimiento.
Los trabajos de matemáticas con un alto nivel de demanda cognitiva fueron los más difíciles de implementar.
Las ganancias en el aprendizaje de los estudiantes fue mayor en las clases en las cuales la instrucción animó a los estudiantes a hacer trabajos de alto nivel de pensamiento.

Estas conclusiones, lo mismo que las conclusiones de TIMSS, tienen un impacto no solo en qué problemas utilizamos con los estudiantes sino también cómo esos problemas son ejecutados en nuestra enseñanza y aprendizaje.

En esta actividad vamos a ver cómo podemos evaluar la demanda cognitiva o riqueza, de los diferentes problemas a los cuales los estudiantes están típicamente expuestos. Para esto utilizaremos el Marco de Tareas de Matemáticas del proyecto QUASAR.

La gráfica del Marco de Tareas de Matemáticas incluye cuatro áreas, cada una con un criterio establecido que puede ser utilizado para determinar el nivel cognitivo de un trabajo de matemáticas y que puede ser asignado a un estudiante.

El Nivel de demanda Bajo, contiene dos secciones tituladas “Tarea de Memorización” y “Procedimientos sin Conexiones”. Estos niveles bajos son descritos generalmente como problemas enfocados en la memorización y en procedimientos sin conexiones para la comprensión, el significado o los conceptos. Los estudiantes típicamente trabajan 10-20 problemas similares en una sola sesión.

El Nivel de demanda Alto tiene dos sesiones tituladas “Tareas con Procedimientos con Conexiones” y “Haciendo Tareas de Matemáticas”. Los procedimientos con conexiones construyen conexiones para poner debajo los conceptos y el significado. Cuando resuelven un problema los estudiantes pueden añadir significado o sentido a su trabajo refiriéndose a una representación pictórica. Haciendo matemáticas, implica que los estudiantes exploren varias maneras de representar el problema. A los estudiantes no se les presentarán inicialmente procedimientos convencionales. Típicamente los estudiantes realizan mucho menos problemas en una sesión.

PUNTO CLAVE:

No asuma que un tipo de problema es malo mientras el otro es bueno. Todos los tipos de problemas tienen un lugar dentro del plan de trabajo curriculum y el propósito de evaluar la demanda cognitiva de un problema se hace importante cuando el maestro desea un cierto nivel de pensamiento o comprensión alrededor de un indicador o indicadores de contenido

Para comenzar a construir su comprensión sobre cómo usar y evaluar el nivel de demanda cognitiva de un trabajo de matemáticas, complete en orden las siguientes actividades de práctica. Antes de comenzar las actividades, lea la gráfica del Marco de Tareas de Matemáticas.

NOTA: Cuando esté evaluando la potencial demanda cognitiva de un problema, mire solamente cómo el problema fue diseñado para ser implementado. Esto puede ser difícil algunas veces, pero para el propósito de esta actividad necesitamos suspender lo que creemos que es cierto sobre el nivel de la capacidad del estudiante para resolver esos problemas y frecuentemente, durante la implementación, cambiar los niveles. Por lo tanto, enfóquese en alcanzar solamente el nivel para el cual fue diseñado el problema.

Práctica de la Actividad 1: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Respuesta del especialista de Instrucción al problema 1: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Práctica de la Actividad 2: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Respuesta del especialista de Instrucción al problema 2: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Práctica de la Actividad 3: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Respuesta del especialista de Instrucción al problema 3: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Práctica de la Actividad 4: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Respuesta del especialista de Instrucción al problema 4: Evaluación de la demanda cognitiva de los trabajos de matemáticas.

Print Resources:

The Mathematical Tasks Framework chart includes four areas with each having established criteria that can be used to determine the cognitive level of a mathematical tasks that may be assigned to a student.

Glossary of Terms:

Mini lección valiosa (Rich Mini-Lesson): Un segmento de la actividad de la clase, dedicado al desarrollo de las ideas matemáticas por su aplicación a la solución de problemas. Enfocado en el nivel de demanda cognitiva que los estudiantes deben trabajar con el fin de completar esas tareas.

Problemas de conexión (Connection Problems): Tareas que conectan procedimientos generales con ideas matemáticas conceptuales para resolver exitosamente los problemas asignados. También incluye problemas que requieren que los estudiantes hagan conexiones entre dos o más conceptos matemáticos.

Problemas de procedimiento (Procedure Problems): Problemas matemáticos que pueden ser resueltos de manera aislada sin necesidad de establecer un significado. Se enfoca principalmente en el algoritmo más que en el concepto subyacente.

Problemas valiosos con contenido (Rich Problems): problemas valiosos con contenido tienen muchos puntos de entrada, fuerzan a los estudiantes a pensar “fuera de la caja”, puede tener más de una solución y abre el camino a nuevos territorios para futura exploración. Los problemas en estos recursos pueden retar a sus estudiantes y su manera de estudiar las matemáticas y les permite más fácilmente, inventar estrategias.

Nivel cognitivo-Tareas de memorización (Cognitive Level – Memorization Tasks): estas son tareas matemáticas que implican procedimientos sin conexiones. Por ejemplo, procedimientos que pueden ser ejecutados de manera aislada sin que requiera establecer un sentido. Las tareas implican reproducir hechos aprendidos previamente, reglas, fórmulas o definiciones O producir de memoria hechos, reglas, fórmulas o definiciones.

Nivel cognitivo-Procedimiento sin conexiones (Cognitive Level - Procedures Without Connections): Los trabajos son algorítmicos. El uso del procedimiento es específicamente evocado porque su uso es evidente basado en instrucción previa, experiencia o ubicación de la tarea. Los trabajos no requieren explicación o explicaciones que se enfoquen únicamente en describir el procedimiento utilizado.

Nivel cognitivo- Haciendo Tareas de Matemáticas (Cognitive Level – Doing Mathematical Tasks): Las tareas requieren pensamiento complejo y no algorítmico. Esto no es previsible, con enfoque bien ensayado o caminos explícitamente sugeridos por la tarea o un ejemplo ya trabajado.

Nivel cognitivo-Tareas de memorización: estas son tareas matemáticas que implican procedimientos sin conexiones. Por ejemplo, procedimientos que pueden ser ejecutados de manera aislada sin que requiera establecer un sentido. Las tareas implican reproducir hechos aprendidos previamente, reglas, fórmulas o definiciones O producir de memoria hechos, reglas, fórmulas o definiciones.

Nivel cognitivo-Procedimiento sin conexiones: Los trabajos son algorítmicos. El uso del procedimiento es específicamente evocado porque su uso es evidente basado en instrucción previa, experiencia o ubicación de la tarea. Los trabajos no requieren explicación o explicaciones que se enfoquen únicamente en describir el procedimiento utilizado.

Nivel Cognitivo-Procedimientos con conexiones (Cognitive Level - Procedures With Connections) Las tareas requieren algún grado de esfuerzo cognitivo. Aunque los procedimientos generales pueden ser seguidos (ejecutados), no pueden ser seguidos (ejecutados) sin pensar. Los estudiantes necesitan aplicar a los procedimientos, ideas conceptuales subyacentes para así completar con éxito el trabajo y desarrollar comprensión.

Nivel cognitivo- Haciendo Tareas de Matemáticas: Las tareas requieren pensamiento complejo y no algorítmico. Esto no es previsible, con enfoque bien ensayado o caminos explícitamente sugeridos por la tarea o un ejemplo ya trabajado.

Demanda Cognitiva (Cognitive Demand): El término demanda cognitiva es utilizado de dos maneras cuando describimos oportunidades de aprendizaje. La primera está relacionada con la cantidad de pensamiento evocado en la clase. La segunda esta ligada con las políticas del plan de instrucción curriculum y las opciones que tienen los estudiantes de elegir cuántos y cuáles cursos de matemáticas tomar.

Print Resources:

Hiebert, J., Grouws, D.A. (2007). Effective teaching for the development of skill and conceptual understanding of numbers: What is most effective? Research Brief from NCTM. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Silver and Stein (1996). The Quasar Project: The “Revolution of the Possible” in Mathematics. Urban Education pg 476-521.

Facebook: Ed K-12

Twitter: EDK12

conceptos y aplicaciones

2011-12-09T06:16:00.001-08:00

Comunidad Ingenio Invita a Jugar

2011-12-09T05:52:00.001-08:00

http://www.juegosingenio.cl/transingenio/

Video Matemáticas Védicas

2011-12-09T05:31:00.001-08:00

Matemáticas Védicas

2011-12-09T05:16:00.001-08:00

Las matemáticas pueden ser védicas

Hay quien dice que no es más que una moda, como el cubo de Rubik o el Sudoku, y que su interés es pasajero; otros dicen que es el juego perfecto para impresionar a los amigos y tal llegar a interesarse por las matemáticas; finalmente, hay quien asegura que es una muestra más de la sabiduría que contienen los vedas, los antiguos textos sagrados hindúes.

Las matemáticas védicas son un conjunto de dieciséis fórmulas (o 'sutras') que pueden ser memorizadas fácilmente y que facilitan el cálculo rápido de cualquier operación con números. En los últimos años, su popularidad se ha disparado entre los estudiantes indios, que ven en ellas una valiosa ayuda para superar exámenes y entrenar la mente.

Algunas academias, como Magic Methods, de Delhi, imparten cursos de matemáticas védicas en ochenta centros de todo el mundo y han hecho de este 'yoga mental' un jugoso negocio de millones de euros.

Tenemos ochenta centros en todo el mundo, y todavía estamos lejos de tocar techo. En países como Sudáfrica, donde un 70% de los alumnos suspende matemáticas, podemos ser de gran ayuda para que los jóvenes no sólo le pierdan el miedo a los números, sino que además se diviertan con ellos. En otros lugares, como Holanda, Reino Unido o Australia, todo tipo de público se interesa por las matemáticas védicas. Y sí, es un gran negocio para nosotros", asegura Tarun Roy, profesor de matemáticas desde hace años.

Pero, ¿cómo funcionan estas fórmulas? Un ejemplo. El segundo 'sutra', o aforismo, dice: 'Nueve menos todos y el último menos diez', y ayuda a hacer restas de números como 10, 100, 1.000, 10.000, etc. ¿Cómo? Restándole 9 a cada cifra y diez a la última. Así, 10.000 menos 1.049 es igual a 8.951 (9 menos 1 es 8; 9 menos 9 es 0; 9 menos 4 es 5; 10 menos 9 es 1).

Falsos superhéroes

Con algunos circos indios viajan a veces 'memoriones' o 'superhéroes del cálculo' que exhiben su capacidad de resolver en unos segundos cualquier operación matemática sugerida por el público. "Son simplemente personas familiarizadas con las matemáticas védicas", explica Roy. Cualquiera puede aprender las dieciséis reglas en un mes y dejar de sentirse intimidado por las matemáticas.

Sin embargo, como apunta el profesor Umesh Reddy, profesor de matemáticas en una universidad privada, "en las matemáticas modernas emplean más letras que números, pues la mayoría de las fórmulas mínimamente complicadas incluyen las letras griegas que designan a funciones o se refieren a conceptos abstractos. No se trata sólo de números".

La fiebre del 'sutra'

Bharati Krishna Thirtaji, un estudioso indio nacido en 1884 que a los veinte años ya había terminado varias carreras, presentó en 1919 las dieciséis reglas matemáticas que según él había "rescatado" de los antiguos textos sagrados indios, los vedas.

Thirtaji emprendió una gira por toda la India, el Reino Unido y Estados Unidos para divulgar su descubrimiento, y llegó a escribir un extenso tratado que dedicaba un volumen a cada 'sutra'. Sin embargo, el manuscrito de aquella obra se perdió antes de que fuese publicado, y Thirtaji falleció en 1960 sin poder reescribirlo.

Actualmente, la fiebre por este nuevo "entrenamiento para el cerebro" está pegando fuerte en la India, y el hecho de que esté basado en la más antigua tradición hindú lo hace aún más atractivo. Desde vídeos en Youtube, donde voces con el inconfundible acento indio explican con ejemplos prácticos los dieciséis 'sutras', hasta DVD y cientos de libros, el negocio de las matemáticas védicas, pasando por multitud de páginas web que permiten autoevaluarse, las oportunidades de conocer estas matemáticas a la india son innumerables.

Quienes las enseñan no dudan en afirmar: "Es la mayor contribución india a la ciencia desde que inventamos el número cero".

FUENTE:http://www.elmundo.es/elmundo/2010/05/19/ciencia/1274268347.html

Euclides y el nombre de los Irracionales

2011-12-05T12:09:00.001-08:00

Euclides llamó "inexpresables" a números como la diagonal de un cuadrado de lado "1". Usaba la palbra griega "alogos" que luego fue traducida en la edad media usando logos como "razón" .... sin razón, irracionales ....

Contribución de los Pitagóricos

2011-12-05T12:07:00.001-08:00

"Para los pitagóricos, el estudio de las matemáticas podía y debía separarse del mundo tangible, lo que se constituyó en el primer paso para el estudio de ella como ciencia formal". (Tomado de Santillana 2do Medio, Bicentenario).

aula poética ....

2011-12-05T09:22:00.001-08:00

Arte MUY Matemático ....

2011-11-30T06:28:00.001-08:00

Exposición
Pliegues de luzMuestra individual del artista Francés Alain Tergny
Inauguración (Opening) Jueves 1 de Diciembre de 2011 a las 19:30 hrs.

Alain Tergny,"Box nº 8 Rouge et bleu", 55x30x29 cms. Año 2009.

Alain Tergny - Pliegues de Luz
Alain Tergny nació en 1944 en Saintes, en la Charente Maritime, cien kilómetros al norte de Burdeos. Su formación como escultor privilegió la madera, pero pronto se vio inmerso en la eclosión del arte cinético en París, adonde convergieron entre otros los venezolanos Cruz-Diez y Soto, el argentino Le Parc y el húngaro Vasarely. Entre 1970 y 1973 participó en los salones anuales de Escultura Joven de París, así como en el salón de Nuevas Realidades (1972), con obras donde ocupaba principalmente el acrílico transparente pero asimismo la madera lacada o el metal pintado. Tergny pasó a continuación, y por treinta años, a diseñar lámparas y sistemas de iluminación, llegando incluso a tener su propia empresa. Luego, en 2004, volvió a la escultura, retomando la línea de trabajo en materiales transparentes que hoy identifica con el título Pliegues de Luz.
Si bien desde 1970 hasta la actualidad su obra ha sido abstracta y reconoce como punto de partida los dibujos de volumen virtual de Josef Albers, también siente que lo influyeron emocionalmente las perspectivas infinitas de Giorgio de Chirico y el "imperio de las luces" de René Magritte. Y son ciertamente estas influencias las que abren distancia entre la obra de Tergny y otras manifestaciones del arte cinético u óptico de entonces y de hoy, pues en cada recorrido de sus piezas, en cada vericueto de estos laberintos que desafían la percepción, se hace tangible una profunda sensibilidad espiritual y no sólo el virtuosismo de los conjuros a la física. Alain Tergny domina a voluntad las tecnologías de los materiales y los sistemas de iluminación que ocupa en sus esculturas, convirtiendo en un zigzag lo opaco en translúcido y lo translúcido en rutilante, mas una mirada sensible podrá percibir también la poesía inmanente en cada trazo, en cada quiebre.
Mario Fonseca
Santiago, mayo 2011

Alain Tergny, "Box nº 7 Jaune et bleu", 37x37x 50 cms. Año 2010.

Links a los Aleph de Diciembre

2011-11-30T06:04:00.001-08:00

Aleph 4 - Primera Quincena Diciembre 2011:
Link: Aleph 4 - Dic. 2011

Aleph 5 - Segunda Quincena Diciembre 2011:
Link: Aleph 5 - Diciembre 2011

Teorema de la Incompletitud de Kurt Godel

2011-11-29T07:43:00.001-08:00

El matemático austriaco Kurt Gödel(1906-1978) fue un eminente matemático y uno de los lógicos más brillantes delsiglo XX. Las implicaciones de su teorema de incompletitud son ampluias, ya quese aplica no solamente a las matemáticas, sino también a áreas como lainformática, la economía y la física. Cuando Gödel estaba en la universidad dePrinceton, Albert Einstein fue uno de sus amigos más íntimos.

El teorema de Gödel, publicadoen 1931, tuvo un efecto demoledor entre lógicos y filósofos porque implica que en un sistemamatemático rigurosamente lógico existen propuestas o cuestiones que no puedenprobarse ni refutarse a partir de los axiomas básicos de dicho sistema.Por tanto, axiomas básicos como los de la aritmética pueden dar lugar acontradicciones. Esto deja a las matemáticas esencialmente “incompletas”. Aunhoy, surgen y se debaten continuamenre repercusiones de este hecho. Además, elteorema de Gödel puso punto y final a siglos de intentos de establecer axiomasque dotaran de una base rigurosa a todas las matemáticas.

Hao Wang escribió sobre estacuestión en su libro Reflections on Kurt Gödel : “Elimpacto de las ideas científicas y las especulaciones filosóficas de Gödel hasido aumentado y puede seguir haciéndolo del mismo modo el valor de susposibles implicaciones. Pueden pasarcientos de años hasta que aparezcan confirmaciones o refutaciones más precisassobre algunas de sus conjeturas principales”. Douglas Hofstadter apunta a unsegundo teorema de Gödel también sugiere la limitación inherente de lossistemas matemáticos e “implica que las únicas versiones de la teoría formal delos números que declaran su consistencia son inconsistentes”.

En 1970 una demostraciónmatemática de la existencia de Dios hecha por Gödel empezó a circular entre suscolegas. La demostración no llegaba a una extensión superior a una página ycausó una gran revuelo. Al final de su vida, Gödel padeció paranoia y pensabaque estaban intentando envenenarle. Dejó de comer y murió en 1978. A lo largode su vida también sufrió crisis nerviosas e hipocondría.

(The Math Book, Pickover Clifford A. – 2011 -)

Nicolasa, Inti y la Ciencia ....

2011-11-29T07:00:00.001-08:00

Geometrías NO Euclídeas y Relatividad

2011-11-29T06:48:00.001-08:00

Geometría NO Euclídea:

Desde los tiempos de Euclides(c. 325-270 a.C.), el conocido postulado (Quinto) de las paralelas parecía describir demanera razonable el funcionamiento de nuestro mundo tridimensional. Seún elpostulado, si tenemos una recta y un punto que no pertenece a ella, sólo existeUNA recta, en su plano que pase por el punto y que no tenga intersección con larecta original.

Con el tiempo, las formulacionesde la geometría NO Euclídea (en que este postulado se niega de 2 formas) hantenido consecuencias dramáticas (y prácticas). Según Einstein, “Concedo una granimportancia a esta interpretación de la geometría; si no hubiera contado conella, no habría sido capaz de desarrollar la teoría de la relatividad”. Dehecho, la relatividad general de Einstein representa el espacio tiempo con unageometría no euclídea que puede curvarse en la proximidad de los campos gravitatorioscomo el sol y los planetas (Piense en una bola de acero del tamaño de su mano puestasobre el cobertor de su cama, curva el cobertor y atrae a una bolita de cristalque cruzara el espacio curvado por la esfera mayor).

En 1820 el ruso NicolaiLobachevsky publicó “On the principles of Geometry”, donde postuló una geometría consistente basada en lapremisa de que el postulado Quinto era falso (cosa que también había descubierto Bolyaiantes pero sin publicar). En 1854, el matemático alemán BernhardRiemann generalizó los hallazgos de Bolyai y Lobachevsky al demostrar que eranposibles diversas geometrías no euclídeas.

Riemann señaló en cierta ocasiónque “el valor de la geometría no euclídea reside en la capacidad de liberarnosde ideas preconcebidas como paso previo para la exploración de leyes físicasque exigen geometrías distintas de la propuesta por Euclides”. Su preicción secumplió años después con la Teoría General de la Relatividad de Einstein.

(“El libro de las matemáticas”-TheMath Book- Pickover Clifford A. -2011-)

Noticias por la WEB

2011-11-28T05:05:00.001-08:00

MEXICANO DESCUBRE NUEVO SISTEMA MATEMÁTICO.

Esta novedad alcanzada por nuestro colaborador, ingeniero Oscar Triviños Solís, nos parece que vale la pena compartirla con los lectores.

Juan Alfredo Morales, investigador del Departamento de CienciasTecnológicas del Centro Universitario de la Ciénega (CUCIénega) de laUdeG, oficializó hoy su descubrimiento sobre una nueva serie de números denominados trierniones.

En rueda de prensa, manifestó que caen en el campo de los hipercomplejos, compuestos de tres partes: una real y dos imaginarias, que tendrán múltiples aplicaciones, sobre todo en proyectos de inteligencia artificial.

Dijo que su hallazgo rompe con los paradigmas matemáticos, sobre todo con los tradicionales números complejos (que describe como la suma de un número real y uno imaginario), que son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos.

"Así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia", apuntó.

Dijo que los números trierniones "se hallan localizados en un espacio hipercomplejo, el cual contiene tres diferentes regiones o zonas (ejes coordenados), mutuamente perpendiculares entre sí; uno de los ejes es real y los otros dos son imaginarios, los cuales se entrecruzan en un punto O, llamado el origen".

Explicó que el sistema coordenado se definirá como espacio de Argan-Morales del Río (Argand, matemático francés, fue el primero que hizo la representación gráfica de los números complejos a través de la geometría analítica) .

"Este sistema coordenado Argand-Morales del Río es una extensión del plano de Argand (que comprende dos ejes ubicados en un plano: un eje real y otro imaginario) el cual se le ha agregado un tercer eje o plano imaginario mutuamente perpendicular a los dos anteriores", dijo.

Mencionó que aunque los ejes Y y Z son imaginarios, por el hecho de encontrarse en diferente dirección, las componentes del triernión localizadas en estos dos diversos ejes imaginarios no pueden sumarse o restarse mutuamente.

"De esta manera es que en este espacio hipercomplejo existen nueve lugares posibles en los cuales se puede graficar o localizar un punto", refirió.

Destacó que las aplicaciones de los triernios o trierniones pueden ser implementadas en proyectos de inteligencia artificial, específicamente en las redes neuronales y algoritmos inteligentes.

"Lo que impactará en la investigación de controles para áreas como la tecnología MEMS (sistemas microelectromecánicos), nanobots, neuro computadoras y sistemas de control de satélites de comunicación", expuso.

Asimismo, sistemas de control de automóviles, procesamiento de imágenes, criptografía geométrica, entre otros.

Simplicidad de las Matemáticas

2011-11-25T10:29:00.001-08:00

Simplicidad de la Matemática:

"Existe una opinión muy generalizada según la cuál la matemática es la ciencia más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier 'tonto'(*) se cree en condiciones de discutir sobre política o arte -y en verdad lo hace- mientras mira la matemática desde una respetuosa distancia",

Ernesro Sábato, "Uno y el Universo", 1945.

(*) la comilla a esta palabra es mía, por considerar que la palabra no es -quizás- la más adecuada.

Razones Trigonométricas - Nemotecnia

2011-11-25T06:27:00.001-08:00

Razones Trigonométricas - Nemotecnia
(Colabora Fernanda M.) :
poner:

co - ca - co - ca - hip - hip :
desplegado de izquierda a derecha y luego, abajo, al revés:
hip - hip - ca - co - ca - co
agregar rayas fraccionarias .....

co : Cateto Opuesto
ca : Cateto Adyacente
hip : Hipotenusa

Todo el Aleph 2011 - Un regalo de fin de año ....

2011-11-24T07:35:00.001-08:00

Open publication - Free publishing - More matemamaticas

Tremenda Presentación tomada de la WEB (No es mía)

2011-11-24T06:31:00.001-08:00

La Matematica Y El Arte

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Una Matemagia

2011-11-24T06:25:00.001-08:00

Pensamiento matemático

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