"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

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"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

Guías Mates Asociadas

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mail: psumates2009@gmail.com

Rivers de Ennio Morricone

Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

viernes, 30 de abril de 2010

Un Applet para un Lugar Geométrico ....


Para un punto A de una circunferencia y un punto exterior B, sea P el punto de intersección de la recta tangente a la circunferencia por el punto A y de la recta perpendicular a la tangente anterior trazada por el punto B.

Hallar el lugar geométrico del punto P cuando A recorre la circunferencia.

LUGAR GEOMÉTRICO:

jueves, 29 de abril de 2010

Problema Geométrico (Dibujo con Geogebra)

Planteamiento de Problema:

Apartir de un polígono cualquiera (como el ABCDEF), construir un uevo polígono de un lado menos y cuya área sea igual a la del polígono inicial.

Por Construcción: Recta que pasa por F y G es paralela a la recta que pasa por A y E.

El triángulo AGE (propuesto para cambio) tiene igual área que el triángulo original AFE. Reemplazamos y eliminamos un lado en el polígono!

viernes, 23 de abril de 2010

Alicia en el país de las matemáticas (Extracto de Gaussianos)



Una de las ilustraciones originales de la primera edición de AliciaHoy, día 16 de abril de 2010, se estrena Alicia en el país de las maravillas, después de algunos retrasos. Esta película, dirigida por Tim Burton (no podía ser otro), es una adaptación del libro Alicia en el país de las maravillas, de Charles Lutwidge Dogdson, más conocido como Lewis Carroll, cuya primera edición fue publicada en 1865. Conociendo al escritor de la obra y al director del film seguro que no nos decepcionará.

Sobre el libro se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo, que la obra comenzó a gestarse a partir de un cuento que Carroll contó a unas niñas (Lorina, Alice y Edith) y que fueron ellas mismas, al quedar maravilladas por el cuento, quienes pidieron a Lewis que escribiera la historia. O que en realidad es una crítica a la sociedad de la época en general y en concreto a la reina Victoria. Vamos, que es un cuento muy particular.

¿Pero de verdad es sólo un cuento para niños?

Alicia en el país de las maravillas no es solamente un cuento infantil. De hecho una lectura profunda y razonada de la misma puede hacernos ver que es cualquier cosa menos un cuento dirigido a niños. La condición de matemático de Carroll ejerce una influencia tremenda en esta obra. Alicia en el país de las maravillas está lleno de guiños matemáticos, entre los que podemos encontrar referencias al álgebra, a la teoría de números, a la lógica, al análisis…

En esta presentación podéis encontrar alusiones a las propiedades reflexiva y simétrica de una relación, máximos y mínimos de una función, propiedades de la circunferencia y sobre rectas y segmentos, lógica y razonamiento deductivo…Pero la cosa no queda aquí. Hay otros muchos detalles del libro que sugieren conceptos matemáticos. Aquí os dejo algunos de ellos:En el capítulo 1, Por la madriguera del conejo, ciertos comentarios de Alicia mientras sufre una caída interminable por la madriguera recuerdan al concepto de límite.

En el capítulo 2, El charco de lágrimas, Alicia dice:Veamos, cuatro por cinco son doce, cuatro por seis son trece y cuatro por siete…¡Ay, Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!Esas operaciones no están bien hechas…si usamos el sistema de numeración decimal. Usando otros sistemas de numeración las operaciones son correctas. Concretamente, en base y en base . Siguiendo la línea, tenemos que en, como se podría imaginar, base .

En el capítulo 5. Consejos de una oruga, la paloma afirma que las niñas pequeñas son un cierto tipo de serpiente, ya que las dos comen huevo. Esta deducción recuerda al cambio de variables que se utiliza en multitud de ocasiones en matemáticas.

En el capítulo 7. Una merienda de locos, Alicia toma como iguales las acciones “digo lo que pienso” y “pienso lo que digo”, a lo que el sombrerero responde que eso sería lo mismo que decir que “veo cuanto como” es lo mismo que “como cuanto veo”. Esto recuerda en cierta medida a una función y su inversa.

La curiosa característica que posee el Gato de Cheshire, a saber, desaparecer casi totalmente, dejando únicamente su sonrisa, hace ver a Alicia que muchas veces ha visto un gato sin sonrisa, pero ninguna ha visto una sonrisa sin gato. Este tipo de abstracción profunda es muy usada en matemáticas, y en concreto fue objeto de ciertos acontecimientos matemáticos de la época en la que Carroll escribió su libro.Pero, como no podía ser de otra forma, existen multitud de interpretaciones del texto escrito por Carroll. Una de las más interesantes en lo que a las matemáticas se refiere es la de Keith Devlin.

Afirma que la versión inicial de Alicia no contenía nada relacionado con matemáticas y que Carroll añadió todas estas referencias con el objetivo de satirizar las matemáticas que estaban emergiendo en aquella época, concretamente a mediados del siglo XIX. Según parece, la visión de las matemáticas que tenía Carroll era, digamos, tradicional, por lo que los revolucionarios avances que se produjeron en esta época no le convencían demasiado. Por ejemplo, con el Sombrerero, la Liebre de Marzo y el Lirón tomando el té, donde el tiempo está ausente, que Devlin interpreta como una crítica a los cuaterniones de Hamilton (al parecer Carroll no era precisamente un apasionado del trabajo de Hamilton). También podemos encontrar críticas encubiertas a las geometrías no euclídeas.

Libro: El Club de la Hipotenusa


¿Frecuentaba realmente Arquímedes la bañera? ¿Por qué los números fueron anteriores a las letras? ¿Quién se inventó el cero? ¿Por qué contar con los dedos supuso un gran avance para la humanidad? ¿Qué matemático griego murió de forma no precisamente plácida por culpa de una raíz cuadrada? ¿Quién fue la primera mujer matemática de la historia? ¿Quién fue el primer gran líder en utilizar la criptografía para cifrar mensajes a sus tropas? ¿Quién inventó el signo de la suma? ¿Por que la raíz cuadrada tiene esa extraña forma? ¿Por qué todos los barberos del siglo XVI eran además algebristas? ¿Resolvieron Euler y Descartes el mismo problema sin saber nada el uno del otro? ¿Cuáles han sido los cuatro grandes chascos matemáticos del siglo XX? ¿A qué se retaron cuando se conocieron Unamuno y Gaudí?, ¿Qué opinaban el uno del otro Charlie Chaplin y Einstein? ¿Qué matemáticas son aplicables a las relaciones sexuales? ¿Qué gran matemático español ganó el Nobel de literatura? ¿Qué matemático dijo “Para mí el infinito empieza a partir de mil pesetas”? ¿Cuántos cráteres lunares tienen nombre de matemático? ¿A qué genio de los números homenajea la manzana de Apple?...

Un divertido paseo por la historia de las matemáticas a través de las anécdotas más jugosas y sorprendentes.

Frases Geniales (que involucran Matemáticas)

Si en lugar de objetos contundentes, aparecieran en las corazas de los antidisturbios fórmulas matemáticas, la mayoría de manifestantes emprenderían veloces huidas hacia lugares más tranquilos y seguros. (Claudi Alsina)


Una circuferencia es un punto que se busca a si mismo. (Miguel)

Euler tenía un ojo !!!!

Miren, se le ocurrió a Euler saber la siguiente suma:



1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 ....



Es decir, puso todos los números naturales y los suma pero alternando sus signos ....



Miren lo que hizo el genial Euler:



Tomado de: http://eliatron.blogspot.com/

Topología: Teorema del Punto Fijo (Brouwer 1910)


Teorema del Punto Fijo:
De Wikipedia: "El teorema del punto fijo de Brouwer, cuyo nombre se debe al matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer, es uno de los principales teoremas de punto fijo en las matemáticas."
Su enunciado SIMPLIFICADO es el siguiente:
Toda curva dentro de un cuadrado unitario que se extienda sin interrupciones de lado a lado, debe atravesar por lo menos una vez la diagonal.

Este es el enunciado en el caso unidimensional y hay equivalentes bidimensionales y tridimensionales.

Una aplicación de este Teorema Tridimensional dice que: "Si el viento sopla sobre toda la tierra, debe soplar vertical en por lo menos un punto, por lo tanto debe haber un ciclón". De Wikipedia: como también implica que un vaso con algún líquido, sin importar que tanto se haya batido, al final siempre existirá algún punto del líquido que quede en el mismo lugar que donde partió.

Malla para Números Primos - Propuesta de K.P.Swallow

Criba de Swallow:

Una forma simpática de encontrar los números primos menores que una cierta cantidad (en este caso vamos a usar la cantidad 100) es la propuesta por K.P.Swallow, que se presenta a continuación:


Se escriben los números en 6 columnas, luego se tachan las columnas del 2 (no inlcuyéndole), 4 y 6, por ser pares. Se tachan las columnas de 3 (sin incluirlo), por ser múltiplos de 3. Dejamos sin tachar el 5 y luego con a, b, c y d se tachan los múltilos del 5.


Los múltiplos de 7 se tachan con las columnas i, ii y iii.


Lo que quedan son los números Primos.

==========
Criba:

Una criba es un cedazo, un colador, como los que se usan para quitar las impuresas de las semillas.

Criba de Eratóstenes:

El matemático y filósofo griego Eratóstenes, en el siglo III a. C., escribió en una plancha metálica tres o cuatro mil números y fue contando de dos en dos pri­mero, con lo que tenía los múltiplos de dos, que por tanto no eran primos e hizo agujeros en los lugares correspondientes; luego contó de tres en tres e hizo nue­vos agujeros; luego cada cinco, y así sucesivamente. Los números no tachados, los que quedaban, eran los primos. Es el primer método que registra la historia para obtener los primos: la conocida "criba de Eratóstenes".

jueves, 22 de abril de 2010

Lenin y la ciencia .... Teoría del CAOS

Caos

La teoría del caos en realidad data de los años 60. El matemático francés Henri Poincaré fue pionero en algunos estudios, allá por el cambio de siglo, pero recién en los años 60 se comenzó el trabajo sistemático.

Eduard Lorenz, quien estaba realizando un trabajo sobre modelos simples del clima de la Tierra en el Instituto de Tecnología de Massachussets a comienzo de los 60, dio un paso que fue clave. Utilizó una computadora y un simple conjunto de ecuaciones deterministas para probar y entender algo sobre clima. El advenimiento en el uso de computadoras veloces después de la Segunda Guerra Mundial fue, y sigue siendo, vital en el desarrollo conjunto de la teoría del caos.


El trabajo de Lorenz se popularizó como efecto mariposa. En lugar de que dos puntos de partida dieran lugar a un desarrollo aproximadamente igual en el futuro, tal como Lorenz y prácticamente todo científico de la época hubieran esperado, esos puntos podrían guiar a comportamientos diferentes e impredecibles en el futuro. Lo mismo sucedía sin importar cuán cerca estuvieran los puntos de partida. La más insignificante divergencia en las condiciones iniciales podría llevar a enormes e impredecibles diferencias en el resultado.

Desde entonces el trabajo de Lorenz ha sido desarrollado y generalizado, y se encontró en él la propiedad típica de muchos sistemas no lineales. El resultado es el conocimiento de dos cosas. Primero, leyes deterministas aparentemente simples, en muchos casos dan origen a comportamientos fantásticamente complicados, que son increíblemente sensibles a las condiciones iniciales -un efecto mariposa generalizado-.


Este resultado no se debe a nuestra ignorancia de las condiciones iniciales o a una falla para medirlas con precisión. Algunos sistemas son tan sensibles a las condiciones iniciales que, sin importar cuán cerca pudieran estar dos puntos de partida, aún así sus comportamientos futuros serán ampliamente divergentes en algún punto. Esta noción puede ser rigurosamente demostrada en forma matemática.


Lo segundo es que resulta que el comportamiento de un sistema tan caótico no puede predecirse de otra manera que para un corto plazo -también puede ser rigurosamente hecho en forma matemática-. ¿Qué significa esto? Uno puede, bajo ciertas condiciones, predecir en minutos, por ejemplo, el movimiento de un satélite varios años antes, resolviendo algunas ecuaciones simples derivadas de las leyes de Newton. El satélite repetirá más o menos el mismo movimiento u órbita una y otra vez. Una vez conocido el comportamiento de una órbita podemos predecir cómo será el comportamiento futuro. Simplemente repetirá el mismo movimiento o uno muy similar. En el peor caso tendremos que considerar algún efecto de largo plazo que, lenta pero predecible y suavemente, modificará la órbita.

Sin embargo, no es posible esta clase de predicción en los sistemas caóticos. Las ecuaciones subyacentes aún son estrictamente deterministas, y a menudo derivan de las leyes de Newton, pero la única manera de ver un comportamiento futuro es esperar y mirar -ya sea que suceda en el mundo real o en un modelo de computadora-

El problema es que el movimiento nunca se repite en algún punto. Para averiguar lo que sucede tenemos que, figurativamente hablando, sentarnos a mirar. A diferencia de los sistemas no caóticos, los comportamientos del pasado no son de mucha ayuda para decirnos qué sucederá en el futuro.


Es útil agregar aquí dos puntos más. El primero concerniente al efecto mariposa. El punto no es que el aleteo metafórico de las alas de una mariposa sea la causa del huracán. Más bien digamos que, con ciertas condiciones, un pequeño cambio cuantitativo en la totalidad de las causas puede desencadenar comportamientos futuros cualitativamente diferentes. Muchos escritores y científicos han tratado de entreverarse en toda clase de cuestiones filosóficas para estar en buenos términos con esto. Sin embargo, difícilmente sea un concepto revolucionario, aún si fuera la formulación matemática exacta de los sistemas dinámicos. Algunos antiguos filósofos griegos, sin mencionar a Hegel, o ya que estamos a Marx y Engels, no se hubieran sorprendido en lo más mínimo porque la naturaleza exhibiera esta clase de comportamiento, que también ha sido muy evidente para ciertas ramas de la física. Los ejemplos incluyen los fenómenos de puntos críticos y fases de transición (como agua congelándose) en los que llega un punto en que un cambio cuantitativo se transforma en cambio cualitativo.


En segundo lugar, la teoría del caos no dice sólo que cierta clase de fenómenos son increíblemente sensibles a las condiciones iniciales y tienen una impredecibilidad inherente. Esta es una presentación parcializada de la teoría, que abre las puertas a aquellos que buscan usarla para justificar la imposibilidad de entender y controlar la naturaleza y la sociedad.


Sin embargo, el punto es que la mayoría de los sistemas que exhiben comportamientos caóticos, o bien no han sido investigados previamente por científicos o, si lo fueron, no llegaron a ser entendidos. La teoría del caos ha empezado a mostrar ahora que tales fenómenos no pueden entenderse de una manera más regular, como el comportamiento no-caótico. Esto no significa que no podamos decir absolutamente nada del comportamiento caótico. En el comienzo, muchos sistemas exhiben comportamientos: regulares, predecibles, y caótico e impredecibles.


Ha habido enormes progresos en el conocimiento de cómo el comportamiento ordenado y regular puede deshacerse bajo ciertas condiciones para dar lugar a un comportamiento caótico. Esto es en sí mismo un gran paso hacia nuestro conocimiento de la naturaleza. Sin él, sólo empezar a entender el proceso que inicia la turbulencia de los fluidos habría derrotado los más grandes esfuerzos científicos a la fecha.


Pero eso no es todo: mientras las predicciones detalladas de lo que le sucederá a, digamos, una partícula simple en una “órbita“ caótica no son posibles, el comportamiento caótico no es tan caótico como su nombre implica. El movimiento caótico siempre está delimitado, no puede ir más allá de ciertos límites. El caso de la teoría del caos del clima sugiere que aunque probablemente nunca será posible predecir el tiempo –si lloverá o estará soleado en Londres un día en particular dentro de seis meses, en oposición a, digamos, tres días-, sí sería posible predecir que el clima no puede ir más allá de ciertos límites.


En otras palabras, el comportamiento cualitativo general de los sistemas, sobre lo que muy poco podía decirse previamente, puede –al menos potencialmente- ser entendido. Algunos lectores habrán visto las hermosas y deslumbrantes imágenes generadas por computadora que desparraman libros sobre caos. Muchas de ellas son “fractales” o “ extraños atrayentes”. Ilustran el complejo y hermoso orden que puede subyacer tras el comportamiento “caótico”.


La teoría del caos se ha transformado -a una velocidad vertiginosa- en las dos últimas décadas en una de las áreas más “calientes” de la ciencia moderna. Y lo ha hecho derribando muchas de las barreras entre las diferentes ramas de la ciencia. Hoy en día une a los científicos, desde los resultados de la más “pura” matemática -tales como la teoría de los números con topología- a la mayoría de las ramas de física, química, biología, medicina. Los científicos que trabajan en la teoría del caos provienen de muy diferentes lugares y pertenecen a una enorme variedad de disciplinas. En su intento por trabajar con problemas particulares que requieren especialización, fueron impulsados a romper el encasillamiento en su especialidad.

Aunque aún está en su infancia, la teoría del caos ya apunta a la posibilidad de alcanzar avances en el conocimiento y el control de la naturaleza, y promete aún mucho más. Promete arrojar algo de luz en los fenómenos de la turbulencia de los líquidos muy poco conocidos hasta ahora, pero con serias consecuencias para los barcos, aviones, yacimientos petrolíferos marinos, etc. En medicina, la fibrilación del corazón -que es cuando va repentinamente de latidos normales a oscilaciones irregulares con consecuencias a menudo fatales- promete ser más entendible y potencialmente controlable por medio del desarrollo de la teoría del caos. Los “reactores” aparentemente bizarros encontrados en el comportamiento caótico ya han sido utilizados para transmitir imágenes en movimiento a través de líneas telefónicas. Hay muchos otros ejemplos.


En resumen, la teoría del caos es un paso adelante, no un alejamiento, hacia nuestro conocimiento de la naturaleza. Por supuesto, a medida que comenzamos a interiorizarnos y a entender las áreas de la naturaleza que previamente no entendíamos, los viejos conceptos ya no encajan de la manera que lo hacían. Esto, sin embargo, no debería sorprenderle siquiera a alguien con un conocimiento rudimentario de la historia de la ciencia. La teoría del caos sugiere en particular que la división de la ciencia por épocas, por un lado la determinista y por el otro la del comportamiento impredecible y aleatorio, no funcionará por mucho tiempo. Los dos conceptos, aparentemente mutuamente excluyentes y opuestos, deberán ser vistos ahora como dos caras de una misma realidad. Los más profundos conocimientos desarrollados por la ciencia moderna muestran que los fenómenos pueden ser deterministas y, al mismo tiempo, impredecibles y aleatorios.


Esta clase de desarrollos, en los que los conceptos y fenómenos que parecían oponerse entre sí son vistos como aspectos conectados de una realidad única subyacente, no son nada nuevo. Por siglos se pensó que había ondas en la naturaleza y que había también partículas -las dos definitiva y claramente diferentes-. Con la mecánica cuántica llegó el conocimiento de que ambas son aspectos de una realidad única -todo objeto material es ambas cosas: partícula y onda-. Movimiento y energía fueron vistos por mucho tiempo como algo que de alguna manera la masa pasiva o la materia habían impartido. La relatividad especial de Einstein, y su famosa ecuación E=mc2, demostró que la materia, en un sentido fundamental, fue movimiento, o energía, y viceversa. Demostró que espacio y tiempo están relacionados dinámicamente.


Hasta este siglo, materia, espacio y tiempo eran vistos por separado. La materia se movía por un escenario pasivo de espacio y tiempo. Con el desarrollo de la relatividad general, entendimos que espacio, tiempo y materia están relacionadas dinámicamente. La materia, en un sentido fundamental, es la que da forma y determina tiempo y espacio, los que a su vez afectan el comportamiento de la materia. Aún la noción de “espacio vacío”, el vacío, ya no sirve. La mecánica cuántica predice, y está confirmado, que las partículas salidas del vacío, que burbujea de energía, pueden empezar a existir espontáneamente.


Estas ideas, aunque parecen minar conceptos previos muy bien establecidos, no deberían causarle ningún problema a los marxistas. Lenin, a comienzos del siglo pasado, escribía sobre el enorme ajetreo de la ciencia que por entonces apenas comenzaba, lo puso claro, y de una manera que aún perdura:


El límite dentro del que hasta ahora conocemos la materia se está desvaneciendo, y nuestro conocimiento está penetrando más hondo. Las propiedades de la materia están asimismo desapareciendo; lo que alguna vez parecía absoluto, inmutable y primario, se revela ahora relativo y característico sólo de ciertos estados de la materia. La única propiedad de la materia a cuyo reconocimiento el materialismo filosófico está ligado es la propiedad de ser una realidad objetiva, de existencia fuera de nuestras mentes.


Tomado de:

CIENCIA POPULAR
“Saber para prever, prever para actuar”.
http://www.nodo50.org/ciencia_popular/

miércoles, 21 de abril de 2010

Definición Matemática de la INFORMACION

DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN:
(Elmentos de Cálculo Informacional, Cullmann, G.)
===============================

Al definir la información debe tenerse en cuenta el carácter imprevisible del mensaje. Supongamos que indicamos por medio de un mensaje a un corresponsal la realización de un acontecimiento. Definiremos de la manera siguiente la cantidad de información suministrada por nuestro mensaje en la recepción.



(Ecuación Principal)

Transmisión sin ruido En una recepción sin ruido el corresponsal tiene la certeza de que el mensaje recibido por el receptor es correcto. En este caso la probabilidad de realización del suceso después que el mensaje ha sido recibido es 1.

La ecuación anterior se reduce entonces a (Ecuación Simplificada) :


Un ejemplo:

Un jugador interviene en una partida del llamado juego de los barcos. Se sabe que el objeto de este juego es determinar exactamente las posiciones de un buque enemigo sobre una cuadrícula, tal como se representa en la figura, con el fin de hundirlo siguiendo unas reglas preestablecidas.

En el curso de la partida, el jugador J que dispone de la hoja reproducida en la figura, cree haber localizado un submarino enemigo en la cua­drícula D-4 lanza una andanada (bombaerdeo) y el adversario anuncia tocado.

Vamos a calcular la cantidad de información proporcionada por este mensaje, cuando llega al jugador J.
Al comenzar la partida el jugador J ignoraba completamente las po­siciones de los buques de su adversario y del submarino en particular. Este submarino podía encontrarse en cualquiera de las 64 casillas de su hoja.
La probabilidad de que se encuentre precisamente en la casilla D-4 será por tanto:
p = 1/64

Efectuándose la transmisión del mensaje sin ruido, la localización del submarino es segura después de la recepción del mensaje tocado.

La cantidad de información suministrada por el mensaje es, por tanto, según la fórmula Simplificada:

cantidad de información = — Iog2 (1/p) = Iog2 (64) = 6 unidades binarias.

El mensaje tocado puede además indicar que el submarino está en la casilla correspondiente a la 4ta columna y a la 4ta fila. De acuerdo con esto calculamos la cantidad de información facilitada por el mensaje. Primera­mente, el submarino podía encontrarse en cualquier columna, la probabi­lidad de que se encontrase en la 4ta sería:
Pc=1/8
análogamente, la probabilidad de que se encontrase en la 4ta fila seria:
Pf = 1/8

El mensaje tocado es equivalente al mensaje D— 4 que localiza el sub­marino con la ayuda de dos símbolos. En esta expresión el primer símbolo D da:
— Iog2 (1/Pc) = Iog2 (8) = 3 unidades de información

El segundo símbolo 4 da:
— loga (1/Pf) = Iog2 (8) = 3 unidades de información

La cantidad total obtenida para la localización del submarino es siem­pre de 6 unidades de información.

Las informaciones dadas por cada símbolo son aditivas, porque la in­formación aportada por un mensaje es independiente de la informaciónsuministrada por el otro, estamos por consiguiente en el caso de probabi­lidades compuestas.
La probabilidad de realización del mensaje es:

Pt = (Pc)(Pf)

La cantidad total de información es, por tanto:
log (1/Pt)= log ((1/Pc)(1/Pf)) = log (1/Pc) + Log (1/Pf)

sábado, 17 de abril de 2010

Pensamiento ....

" ... haz capaz a tu escuela de todo lo grande
que pasa o ha pasado por el mundo."
Gabriela Mistral

martes, 13 de abril de 2010

Jóvenes de Básica -en USA- teselando con computador ....

Proyecto de Teselación del Quinto Grado

Los estudiantes del quinto grado de la escuela de Fieldston Lower pasan el año estudiando las culturas medievales. Dominante en el arte de estas culturas es el uso de diseños repetidos de teselación. Desde la obra de creando azulejos de zalij en la arquitectura mora a los diseños intricados hallados en los techos abovedados de catedrales francesas, polígonos geométricos están repetidos en una variedad de diseños.

Una teselación es un polígono repetido y/o combinaciones de polígonos en un plano de dos dimensiones. Cada azulejo en tessellation cabe perfectamente con su gemelo contiguo. Una tessellacion verdadero podría repetir infinitamente en todas direcciones. La palabra teselación procede de la palabra latina "tessella". Una tessella es la piedra individual en un mosaico romano.
Trabajando en sus aulas, los estudiantes del quinto grado diseñan tessellaciones repetidas usando bloques de diseños. Los estudiantes trazaban sus diseños en papel y los llevaron al laboratorio de computadoras.
Usando el programa de Microworlds, los estudiantes programaban las seis figuras de los bloques de diseño. Estas figuras fueron: un cuadro, un triángulo, un hexágono, un "trapezoid", y dos rombos. Los estudiantes se aseguraron de que los lados de cada figura estaban de talle equivalente.




Para la información completa, incluidos los programas, ver en:


http://www.ecfs.org/Projects/FieldstonLower27111/RESO/tes/Sphome.html

Constante de Proporcionalidad Negativa


La constante de proporcionalidad k puede ser negativa. En este caso, la gráfica de y=kx corresponde a una línea recta que pasa por el origen, pero con una pendiente negativa.

Interesantísimo: Tratamiento del Lenguaje Matemático en el Ajuste Curricular Chileno (2009-2010)

Lenguaje matemático.

El punto de partida de la incorporación del lenguaje matemático en el ajuste curricular es el reconocimiento que "el discurso matemático incluye términos especializados y significados distintos de los habituales en el habla cotidiana" (Pimm, 1999). La opción metodológica, frente a la enseñanza del lenguaje matemático es mediar la adquisición del significado matemático, por parte de los estudiantes, a partir del significado que estos tienen desde su experiencia cotidiana (*). En una primera etapa, el problema fundamental de la enseñanza de la matemática es la construcción de significados más que la cuestión del rigor, esto no significa, sin embargo, que el tema del rigor y la precisión propios del lenguaje matemático sea dejado de lado, sino que el punto de inicio de la adquisición de este lenguaje sea abordado a partir de los elementos y conceptos cercanos a la experiencia del estudiante. A modo de ejemplo, se puede observar en el ajuste, que la incorporación del lenguaje relativo al orden parte en primero básico, con el uso de los términos "mayor que", "menor que" e "igual que" asociado a la comparación de números, y continúa profundizándose, tanto a nivel conceptual como en su expresión simbólica llegando en cuarto básico al uso de la simbología matemática más precisa. Igual línea de inclusión se encuentra para el lenguaje algebraico, geométrico y el relativo a datos y azar.

(*) Un ejemplo lo encontramos en la respuesta a la pregunta ¿cuál es la diferencia entre 24 y 9? Un niño de 9 años respondería: "uno es par y el otro impar'". Desde su experiencia el niño no significa el vocablo "diferencia'" como la operación matemática.

lunes, 12 de abril de 2010

Ajuste Curricular en Chile

Desde fines del año 2009 opera en Chile un ajuste al Curriculum. Nótese que es significativo decir que este proceso NO es una reforma curricular sino un ajuste solamente.

El ajuste corre en varias perspectivas: hay reacomodación de contenidos en los años de la Enseñanza Media, introducción de nuevos contenidos (que se habían quitado antes). Pero lo más interesante es que elementos del eje "Estadística y Probabilidad" del currículum previo al ajuste y que ahora se llama "Datos y Azar", han sido distribuidos en los cuatro años de la Enseñanza Media (o en los 6 si se quiere ya que ahora 7mo y 8avo grado serán de la Media) para dar cuenta con ello de las matemáticas que necesitamos en el tránsito hacia un nuevo paradigma, en donde el azar y las ciencias del caos juegan un papel inexorablemente significativo.

Ajuste Curricular en Chile

domingo, 11 de abril de 2010

Queja por atraso ....

entonces me traen a una chica
el día anterior a la prueba
la materia es sólo una
pero no alcanzamos a verla en totalidad
recién alzamos los lineamientos básicos
tras largo rato
y la guía interminable, cubriendo todas las aristas se hace eterna!
avanzamos más rápido pero vamos descuidando detalles
y la chica se frustra porque no puede soltarse
y le pesan materias previas mal aprendidas
y caminamos lentamente, olvidando detalles recién vistos
y yo sufro mucho por todo esto y también me frustro ...
¿qué hace uno?
evita prepaparar -tajantemente- en días previos?
evita dar una mano incompleta?
parece que tampoco .... sirvo para profesor! ....
me afecto enorme!

Ese extraño mundo atómico-subatómico ....



Hace muchos años atrás, D'Alembert presentó un modelo matemático que confundió a mucha gente: Proponía un modelo para el lanzamiento de dos monedas idénticas en que asignaba 1/3 como la probabilidad del suceso "las monedas muestran caras distintas". Este razonamiento fue conocido como el "error de D'Alembert".
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Nosotros sabemos que esa probabilidad es en realidad 1/2, porque el universo de resultados posibles es:


{ Cara-Cara, Cara-Sello, Sello-Cara, Sello-Sello}



P(monedas con caras distintas) = Casos Faborables/Casos Posibles

P(monedas con caras distintas)=2/4=1/2


Unos 200 años después del "error de D'Alembert" los físicos europeos empezaron a darse cuenta de que las partículas atómicas se comportaban de extraña manera: por ejemplo, interactuaban como partículas en un caso o como ondas entro caso, dependiendo del experimento al que fueran sometidas.
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Ente 1920 y 1930 se logró describir matemáticamente este desconcertante comportamiento en un sustrato teórico -contsruido por muchos físicos- que se conoció como mecánica cuántica.
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Lo más impresionante de esta nueva mirada es que la imagen de que los átomos son esferas perfectas describiendo órbitas elípticas bien definidas en el espacio no es tal .... hoy hablamos de una nube de probabilidad que es más densa allí donde hay una mayor probabilidad de que las partículas se encuentren.
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Los experimentos nos muestran de que aunque tratemos de medir cada vez más precisamente nunca podremos saber con absoluta certeza en dónde está una partícula, sólo podemos estimar la probabilidad de encontrarla en una región del espacio.
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A nivel subatómico hay unas partículas que se llaman bosones, en honor al físico indio Satyendranath Boson ... Los físicos han hecho la estadística de la frecuencia relativa de los estados en los que se pueden encontrar un sistema formado por bosones idénticos, cada uno de los cuales puede estar tan posiblemente en un estado C como en un estado S (esto es un símil de las monedas que pueden ser Cara (C) o Sello (S)).
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¿ Y qué crees que encontraron ?
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Bueno, una pofiada evidencia estadística de que el sistema se encuentra aproxiamadamente un tercio de las veces en el estado "Ambos C", otro tercio de las veces en estado "Ambos S" y un tercio final en estado "uno en C y otro en S". Exactamente lo que proyectaba D'Alambert con su modelo -equívoco- para las monedas.
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Pareciera ser -desde la evidencia expertimental- que el mundo de las partículas subatómicas es OTRO MUNDO QUE EL HABITUAL .....

jueves, 8 de abril de 2010

Credo del Blogger (Aprendiz de Matemático)

Credo del Blogger (Aprendiz de Matemático)
(Ese señor que está detrás de: http://psu-matematicas.blogspot.com/)
- NO todos los días se celebran 1.000 ejercicios resueltos –

Creo en el señor Ramanujan que está en la noósfera matemática
-que se autoformó sin una pizca de esperanza de otros ojos sobre los suyos-
y que sin embargo fue prolífico, humilde y nos sedujo con sus sueños … sueños matemáticos!

Creo que Pitágoras, Euler y Bernulli eran risueños!
-que carcajeaban cuando les salía un ejercicio-
Creo en Hypathia, la primera mártir de las Matemáticas!
Asesinada porque el patriarcado no pudo resistir una mujer matemática y brillante!

Creo en Galois, esa mezcla inacabada de revolucionario y matemático ….
Creo cuando enfrento el aula, que allí hay miles de posibles genios (de ambos sexos !!!!!)
-que sólo basta creerlo y propiciarlo-

Creo en las inteligencias múltiples de Gardner,
y por tanto, que la inteligencia matemática NO es mejor que otros tipos de inteligencia!

Creo que siempre voy a ser un aprendiz de matemático y que decir de educador !!!!
Creo en las bifurcaciones, esos OTROS caminos, que descubren con sus lápices chicos y chicas
-y que a veces por temor, los(as) asustados(as) profesores(as), brutalmente apagamos-

Creo en los pingüinos contra la loce, contra la desesperanza, a favor de las utopías!
-marché con un cartel que decía: Pinguinos, YO CREO en Uds!, profesor de matemáticas-

Creo que la sabiduría es maravillosa, que te abre las alas para reinventar universos!
Creo que la sabiduría sin compartirla, vale 1 dividido en infinito (es decir NADA!).

Creo en los matemáticos, que no han vendido sus conocimientos ni al mercado ni al militarismo, ni al armamentismo!
Creo que las matemáticas son CASI tan bellas …. como las mujeres.

Creo en los satoris – esos estallidos jugosos- que emergen cuando uno logra entender un ejercicio. A mi me pasan ….
Creo que las matemáticas son sensuales y si vos querés: eróticas! (para mi lo son!!!!)

Creo como decía Bernoulli, que muchas veces nos acostumbramos a ellas sin entenderlas cabalmente, y que nosotros profes y profas, nos equivocamos en todas las esquinas, y tenemos miedo de admitirlo!
Creo que saber matemáticas es un derecho para todas y todos.
Creo que la odiosa estructura piramidal de la sociedad pasa también, por la absurda veneración-equívoca a las matemáticas.

Creo que las matemáticas pueden ser divertidas, pero que para eso se necesitan al menos 2 voluntades.
Creo que no existe el binomio (profesor)-(educando), sino la comunión de 2 o más seres humanos, que se juntan a compartir dos historias o caminos diferentes, respecto de las matemáticas!

Creo que en mi morral de la vida, a propósito mesclé: hojas con teoremas y volantes libertarios!
Creo en mis blogs matemáticos y por eso entrego panfletos en el metro y en las calles!
Creo que un matemático que ame: no teme a ministros, ni a directores, ni a nadie!
Creo en el poder curativo (sanador) de las matemáticas!
Creo que podemos compartir una conversa (una clase si tu prefieres), sin que medien relaciones de mercado!
Creo que mis blogs subvierten los dictados del mercado!
Creo que los dictadores y los(as) presidentes(as), nunca supieron matemáticas!
Creo que con unos pocos clicks, encontrarás un BLOG-amigo, lleno de ejercicios resueltos!

Creo en ti …
y en lo que juntos podemos lograr ….
Ello, porque simplemente te amo a vos ….
y a las matemáticas!

miércoles, 7 de abril de 2010

Desafío - Probabilidades


Se tienen 2 cucharas y 2 tenedores en una bolsa. Si se extraen uno al azar y luego otro más, como lo muestra el diagrama,
¿ Cuál es la probabilidad de extraer por lo menos 1 tenedor ?

A) 1/4
B) 1/3
C) 1/2
D) 3/4
E) 5/6

Respuesta:
3 casos favorables
4 casos posibles

Probabilidad Pedida = 3/4

Fuente: Santillana 1ro. Medio - 2010
NEM: Segundo Medio (Currículum NO correjido)
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Probabilidad. Diagramas de Árbol.

martes, 6 de abril de 2010

Mi hijo y sus robots .... este esconde un cubo ...


A mi hijo le encantan los robots,
habla de construir uno,
lo logra maravilloso con papeles y dibujos, con cajas de cartón también!
mire el siguiente, tiene ínsito un CUBO
lo dobla y lo puede armar con forma de cubo!
es impresionante como modelar juntos un cubo le imprimió la belleza de este volumen!

sábado, 3 de abril de 2010