"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

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"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

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Rivers de Ennio Morricone

Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

miércoles, 29 de abril de 2009

Sintaxis y Semántica en Matemáticas ....

Las habilidades que una persona requiera para resolver con éxito un problema matemático son variadas y dependen del tipo de problema a resolver, estás involucras procesos de reflexión, de ensayo y error, de conjetura, de búsqueda de patrones, de razonamiento inducción y deducción, entre otras.
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En su resolución se distinguen dos componentes principales: la escritura y los procesos a seguir para resolverlo. El primer componente se debe caracterizar por su rigurosidad y formalidad. El otro componente requiere educar la intuición y el ordenamiento de ideas, para deducir intuitivamente la manera de resolver el problema.
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Al considerar las matemáticas como un lenguaje, los componentes anteriormente señalados son llamados: sintáctico y semántico.
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El componente sintáctico nos permite comunicarnos con los demás, se caracteriza por una serie de reglas que regulan la forma de conectar las "palabras", para formar "oraciones" que permitan expresarnos.
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La semántica, por un lado le da significado a las oraciones que recibimos, y por otro, nos permite comunicarnos con nosotros mismos y organizar, con la intuición, nuestras ideas para luego expresarlas por medio de "oraciones" a los demás.
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Quién domina en matemática: la sintaxis o la semántica?
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Gödel responde a esta interrogante: la sintáctica y la semántica son equivalentes, es decir hay una relación bidirreccional entre ambos componentes. Así, se concluyen dos aspectos importantes:
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1. La rigurosidad (sintaxis) regula y enrumba la intuición (semántica). No basta con tener la idea de como demostrar un teorema, la escritura nos permite ordenar las ideas y desechar aquellas que se alejan del razonamiento y de dudosa validez.
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2. La intuición es el motor de la rigurosidad. No es suficiente con saberse de memoria los teoremas, las definiciones y manejar el uso de los símbolos, la intuición nos traza el camino poco a poco a la solución del problema.
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(Tomado de Revista digital Matemática, Educación e Internet
www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 9, No 2. Feb., 2009)

¿ Qué dice ?

C13R70 D14 D3 V3R4N0 3574B4 3N L4 PL4Y4 0853RV4ND0 A D05 CH1C45 8R1NC4ND0 3N 14 4R3N4, 357484N 7R484J484ND0 MUCH0 C0N57RUY3ND0 UN C4571LL0 D3 4R3N4 C0N 70RR35, P454D1Z05 0CUL705 Y PU3N735. CU4ND0 357484N 4C484ND0 V1N0 UN4 0L4 D357RUY3ND0 70D0 R3DUC13ND0 3L C4571LL0 4 UN M0N70N D3 4R3N4 Y 35PUM4... P3N53 9U3 D35PU35 DE 74N70 35FU3RZ0 L45 CH1C45 C0M3NZ4R14N 4 L10R4R, P3R0 3N V3Z D3 350, C0RR13R0N P0R L4 P14Y4 R13ND0 Y JU64ND0 Y C0M3NZ4R0N 4 C0N57RU1R 07R0 C4571LL0; C0MPR3ND1 9U3 H4814 4PR3ND1D0 UN4 6R4N L3CC10N; 64574M05 MUCH0 713MP0 D3 NU357R4 V1D4 C0N57RUY3ND0 4L6UN4 C054 P3R0 CU4ND0 M45 74RD3 UN4 0L4 LL1364 4 D357RU1R 70D0, S010 P3RM4N3C3 L4 4M1574D, 3L 4M0R Y 3L C4R1Ñ0, Y L45 M4N05 D3 49U3LL05 9U3 50N C4P4C35 D3 H4C3RN05 50NRR31R.

martes, 28 de abril de 2009

"El problema difícil" por Nicolai Bogdanov-Belski


Miren la expresión tan bien lograda de estos chicos que piensan este "problema difícil" ...

(Tomado de Viaje a Ítaca con Manolí .... BLOG Linkeado en este blog)

La operación que aparece en la pintura "El problema difícil " realizada en 1895 por Nicolai Bogdanov-Belski y que se exhibe en la Galería Tretyakov de Moscú no es un problema difícil.
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Como 10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2 = 365. La solución es 2. Para el alumno de hoy, o con una calculadora, el móvil, o una simple hoja de papel , el ejercicio es elemental. Pero volvamos al cuadro, el educador Serguei Rachinski pide a sus alumnos de la escuela rural, pobres y malvestidos, que lo resuelvan mentalmente. Por eso no hay papel, solo rostros que traducen una tremenda concentración. Admirable es el merito de Rachinski que abandona la vida universitaria para llevar a la escuela infantil un gusto que alivie de la miseria de los niños, tal como nos cuenta Perelman en su Álgebra recreativa.
-
En este libro Perelman nos plantea una generalidad de este ejercicio:

EL PROBLEMA: ¿Es acaso ésta la única serie de cinco números consecutivos, en la que la suma de los cuadrados de los tres primeros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos?
-
Si expresamos el primero de los números buscados con x, tendremos la siguiente ecuación:
x^2+(x + 1)^2 + (x + 2)^2 = (x + 3)^2 + (x+ 4)^2
Sin embargo, es más cómodo expresar con x, no el primer número de los buscados, sino el segundo. Así la ecuación tendrá un aspecto más sencillo:
(x – 1)^2+ x^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2 + (x+ 3)^2
-
Al desarrollar los binomios al cuadrado y reducir los términos semejantes, resultará:
-
x^2 -10x - 11 = 0,
-
de donde se obtienen las soluciones 11 y -1.
Existen por consiguiente, dos series de números que tienen las propiedades exigidas:
-
la serie de Rachinski 10, 11, 12, 13, 14
y la serie -2, -1, 0, 1, 2.

Desafío PSU - Santillana

la anterior expresión es igual a:

Desafío PSU - Santillana



Del siguiente grafo podemos afirmar que la ecuación cuadrática asociada:

A) Tiene soluciones imaginarias.
B) Tiene una raíz negativa.
C) Tiene raíces reales e iguales.
D) Tiene raíces reales y distintas.
E) No tiene solución.

Desafío PSU - Santillana

El valor de x en la expresión es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Ninguna de las anteriores.
F) NO se puede calcular porque alguien tiró spray en el ejercicio y de diversos colores.

Alternativa C)

Desafío DEMRE - Desafío PSU


















(DEMRE 2004) En la figura sen (alfa) = 4/7 ; Se puede afirmar que UT = 7 si:
(1) US = 4
(2) L1 // L2
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: En los comentarios !!!!
Desarrollo: Se puede afirmar con certeza que UT = 7 sí y sólo sí, US = 4 (Condición (1)) y el ángulo UTS es igual a alfa. Ello sólamente ocurre sí L1 // L2 (Condición (2)).

veamos!
Sen (alfa) = 4/7 = US/UT

pero US = 4
4/7 = 4/UT, de donde sigue que UT = 7!


Ponga un OJO:

Gripe Porcina

La gripe porcina o influenza porcina es una enfermedad infecciosa causada por cualquier virus perteneciente a la familia Orthomyxoviridae y que ha resultado endémica en poblaciones porcinas. Estas cepas virales son conocidas como virus de la influenza porcina o SIV (por las siglas en inglés de «Swine Influenza Viruses») han sido clasificadas en Influenzavirus C ó alguno de los subtipos del género Influenzavirus A (siendo los más conocidos H1N1, H1N2, H3N1 y H3N2).

Las personas que trabajan con aves de corral y con cerdos, especialmente aquellas que se hallan expuestas intensamente a este tipo de animales, tienen mayor riesgo de infección en caso de que éstos porten alguna cepa viral que también sea capaz de infectar a los humanos. Los SVI pueden mutar en un estado que les permite ser contagiados de persona a persona. Se cree que el virus responsable del brote de gripe porcina de 2009 ha sufrido de esta mutación. Los síntomas de la enfermedad son muy parecidos a los de la influenza.

¿ Qué es un VIRUS ?

Un virus (de la palabra latina virus, toxina o veneno) es una entidad biológica que para replicarse necesita de una célula huésped. Cada partícula de virus o virión es un agente potencialmente patógeno compuesto por una cápside (o cápsida) de proteínas que envuelve al ácido nucléico, que puede ser ADN o ARN. La forma de la cápside puede ser sencilla, típicamente de tipo helicoidal o icosaédrica (poliédrica o casi esférica), o compuesta, típicamente comprendiendo una cabeza y una cola. Esta estructura puede, a su vez, estar rodeada por la envoltura vírica, una capa lipídica con diferentes proteínas, dependiendo del virus.

El ciclo vital de un virus siempre necesita de la maquinaria metabólica de la célula invadida para poder replicar su material genético, produciendo luego muchas copias del virus original. En dicho proceso reside la capacidad destructora de los virus, ya que pueden perjudicar a la célula hasta destruirla. Pueden infectar células eucariotas (plantas, animales, hongos o protistas) o procariotas (en cuyo caso se les llama bacteriófagos, o simplemente fagos). Algunos virus necesitan de enzimas poco usuales por lo que las cargan dentro de su envoltorio como parte de su equipaje.

Los biólogos debaten si los virus son o no organismos vivos. Algunos consideran que no están vivos, puesto que no cumplen los criterios de definición de vida. Por ejemplo, a diferencia de la mayoría de los organismos, los virus no tienen células. Sin embargo, tienen genes y evolucionan por selección natural. Otros biólogos los han descrito como organismos en el borde de la vida.

Las infecciones virales en humanos y animales por lo general dan como resultado una
respuesta inmune y a menudo enfermedades. Entre éstas se incluyen el resfriado común, gripe, varicela, sarampión, hepatitis B, fiebre amarilla, rabia, SIDA, etc. Muchas veces, el virus es completamente eliminado por el sistema inmunológico. Los antibióticos no tienen ningún efecto sobre los virus, pero se han desarrollado medicamentos antivirales para el tratamiento de las infecciones. Las vacunas pueden prevenir las infecciones virales produciendo inmunidad durante tiempo prolongado.

Modelización matemética de los VIRUS?

Busco en la WEB los aportes de los modelos matemáticos para entender los VIRUS ,,,, saben Uds. de algo?

Algunas publicaciones de la WEB:

1)

Crean modelo matemático para describir comportamiento del VIH
Explica tres aspectos fundamentales de su alojamiento

Un grupo interdisciplinario e interinstitucional de médicos de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México; de los institutos de Investigaciones Biomédicas y de Física de la Universidad Nacional Autónoma de México, y del Politécnico Nacional, así como del Hospital de La Raza del Instituto Mexicano del Seguro Social, desarrollaron un modelo matemático que describe el comportamiento del virus de inmunodeficiencia adquirida (VIH), y dentro de un mes aproximadamente se aplicará un nuevo protocolo para 20 pacientes en el Hospital General de la Ciudad de México.

Enlace:
http://www.jornada.unam.mx/2007/01/25/index.php?section=ciencias&article=a03n1cie

2)

Modelos matemáticos para estudiar la evolución del virus del papiloma
Un equipo de investigadores del Instituto de Matemática Multidisciplinar (im2) de la Universidad Politécnica de Valencia, coordinado por Rafael Villanueva, está estudiando cómo se comporta el virus del papiloma humano, aplicando para ello un nuevo modelo matemático. Según explica el catedrático e investigador del im2, a partir del modelo que ya existe, están implementando otro modelo que incluya casuísticas no contempladas hasta ahora, “como por ejemplo, la inclusión de la población masculina, porque también son portadores del virus y lo contagian, la variación de la demografía y la consideración de otros tipos de VPH, en concreto, el que puede producir verrugas genitales”.

Enlace:
http://www.plataformasinc.es/index.php/esl/Noticias/Modelos-matematicos-para-estudiar-la-evolucion-del-virus-del-papiloma

lunes, 27 de abril de 2009

En el país del infinito ....


¿ Qué significa que dos conjuntos son iguales ?

Que poseen exactamente los mismos elementos. Por ejemplo:
{ Washington, Madison, Jefferson } = { Los tres primeros presidentes de USA }

¿ Y qué son los Conjuntos Equivalentes ?

Son aquellos que tienen el mismo número de elementos, pero no necesariamente los mismos elementos.

¿ Es necesario contar todos los elementos de cada uno de los conjuntos para determinar si ambos tienen o no tienen el mismo número de elementos ?

No. Existe un sistema más sencillo; podemos parear o asociar entre si los miembros de los dos conjuntos. Si cada miembre de uno de los conjuntos puede ser asociado con un miembro del otro, los conjuntos son equivalentes.

En una zapatería, el conjunto de todos los zapatos del pie derecho y el conjunto de todos los zapatos del pie izquierdo, son equivalentes ....

¿ Qué significa Correspondencia Biunívoca ?

Una relación entre dos conjuntos, establecida por la condición de que cada elemento de uno puede ser asociado con un (y sólo un) elemento del otro.

¿ Si dos conjuntos son equivalentes, ¿pueden sus elementos ser colocados siempre en correspondecia biunívoca?

Si porque ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

Tomemos el conjuto de los enteros naturales menores que 10, y el conjunto de los números natuarles menores que 10. ¡Pueden estos conjuntos ser colocados en correspondencia biunívoca? No porque no poseen el mismo número de elementos.

¿ Qué es un conjunto ordenado ?

Un conjunto cuyos elementos están situados sucesivamentem según un orden determinado. La letras del alfabeto, por ejemplo; los números naturales, etc.

Consideremos el conjunto de los números naturales = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....}
Consideremos por otra parte el conjunto del los naturales pares = {2, 4, 6, 8, ....} ¿Pueden ambos cnjuntos se puestos en correspondencia biunívoca?

Si, porque cada elemento del conjunto de los naturales puede ser asociado con un número par ...




Hemos pues descubierto un hecho algo extraño: el conjunto de todos los naturales puede ser colocado en corespondencia biunívoca con una parte de si mismo, el conjunto de todos lon números naturales pares ....

¿ Significa esto que los dos son equivalentes?

Si, el hecho de que cada miembro de un conjunto pueda ser asociado con un miembro del otro conjunto indica que ambos conjuntos poseen el mismo número de elementos ...

Y Ambos conjuntos ¿son infinitos?

SI, AMBOS SON CONJUNTOS INFINITOS ....

Recapitulemos:

1) El conjunto de los naturales es infinito.
2) El conjunto de los naturales pares es infinito.
3) El conjunto de los naturales contiene al de los pares naturales.
4) Ambos conjuntos son equivalentes, ambos poseen el mismo n´mero de elementos.
5) Ambos están e correspondencia biunívoca ....

En atención a lo anterior podemos definir:

Conjunto INFINITO: es alquel que puede ser coocado en correspondencia biunívoca cin u subconjunto de sí mismo.

Conjunto FINITO: es aquel que NO puede ser colocado en correspondencia biunívoca con ningún subconjunto de sí mismo.

=====
Idea tomada de "Iníciese en la teoría de conjuntos (álgebra moderna)" de Robert W. Marks.

Conjuntos y Circuitos Eléctricos de Conmutación ....

El circuito Equivalente a


A inter B significa lógicamente, "A y B". En el diagrama, para que encienda la luz, será preciso que tanto el cnmutador A como el B estén cerrados.

Y qué significa entonces A U B ????

A U B

A U B significa " A ó B, o ambos". En el diagarma anterior, la luz se encenderá si A está cerrado o si be está cerrado, o si ambos están cerrados ....

Y dejemos un ejemplo final:

Respuesta en los comentarios ....

Metálogo: "PAPITO, ¿POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS? - Por Gregory Bateson

Hablando de ENTROPIA

METALOGO.
PAPITO, ¿POR QUÉ SE DESORDENAN LAS COSAS?.
Gregory Bateson.

Hija: Papá ¿ Por qué se desordenan las cosas?.

Padre: ¿Qué quieres decir? ¿Cosas? ¿Desordenarse?.

Hija: Bueno, la gente gasta mucho tiempo ordenando cosas, pero nunca se la ve gastar tiempo revolviéndolas. Las cosas parecen desordenarse por sí mismas. Y entonces la gente tiene que ordenarlas otra vez.

Padre: ¿Pero tus cosas también se desordenan si no las tocas?

Hija: No, si nadie me las toca. Pero si tú me las tocas –o si alguna otra persona las toca- se desordenan, y el revoltijo si no soy yo la que las toca.

Padre: Si, por eso no te dejo tocar las cosas de mi escritorio. Porque el revoltijo de mis cosas es peor si las toca alguien que no soy yo.

Hija: ¿Entonces la gente siempre desordena las cosas de otros? ¿Por qué lo hacen papá?.

Padre: Bueno, espera un poco. No es tan sencillo. Ante todo, ¿a qué llamas revoltijo?.

Hija: Cuando... cuando no puedo encontrar las cosas y todo parece revuelto. Lo que sucede cuando nada está en su lugar...

Padre: Bueno, pero ¿estás segura de que llamas revoltijo a lo mismo que cualquiera otra persona llamaría así?.

Hija: Pero papá, estoy segura... porque no soy una persona muy ordenada y si yo digo que las cosas están revueltas, estoy segura de que cualquiera otra persona estará de acuerdo conmigo.

Padre: Muy bien, ¿pero estás segura de que llamas “ordenado” a lo que otras personas llamarían así?. Cuando tu mamá ordena tus cosas, ¿sabes dónde encontrarlas?

Hija: A veces, porque, sabes, yo sé dónde pone ella las cosas cuando ordena.

Padre: Es cierto: yo también trato de evitar que arregle mi escritorio. Estoy seguro de que ella y yo no entendemos lo mismo por “ordenado”.

Hija: Papá, ¿te parece que yo y tú entendemos lo mismo por “ordenado”?

Padre: Lo dudo, querida, lo dudo.

Hija: Pero papá, ¿no es raro que todos quieran decir lo mismo cuando dicen “desordenado” y cada uno quiere algo diferente cuando dice “ordenado”?. Porque “ordenado” es lo opuesto que “desordenado”, ¿no?.

Padre: Estamos entrando a preguntas más difíciles. Comencemos de nuevo desde el principio. Tu dijiste: “¿Por qué siempre se desordenan las cosas?”. Ahora hemos dado uno o dos pasos más... y cambiemos la pregunta en: “¿Por que las cosas se ponen en un estado que Caty llama de desordenadas?”. ¿Te das cuenta por qué quiero hacer el cambio?.

Hija: ... Me parece que sí... porque si yo le doy significado especial a “ordenado”, entonces el “orden” de otras personas me parecerán revoltijos a mí, aunque estemos de acuerdo en la mayor parte de lo que llamamos “revoltijos”...

Padre: Efectivamente. Veamos ahora qué es lo que tú llamas “ordenado”. Cuando tu caja de pinturas está colocada en un lugar ordenado, ¿dónde está?.

Hija: Aquí, en la punta de este estante.

Padre: De acuerdo. ¿Y si estuviera en algún otro lado?.

Hija: No, entonces no estaría ordenada.

Padre: ¿Y si la ponemos en la otra punta del estante, aquí?.

Hija: No, ése no es el lugar que le corresponde, y además tendría que estar derecha, no toda torcida, como la pones tú.

Padre: ¡Ah!... en el lugar acertado y derecha.

Hija: Sí.

Padre: Bueno, eso quiere decir que sólo existen muy pocos lugares que son “ordenados” para tu caja de pintura...

Hija. Un lugar solamente.

Padre: No, muy pocos lugares, porque si la corro un poquito, por ejemplo, así, sigue ordenada.

Hija: Bueno... pero pocos, muy pocos lugares.

Padre: De acuerdo, muy pocos lugares. ¿Y qué pasa con tu osito de felpa y tu muñeca y el Mago de Oz y tu suéter y tus zapatos?. ¿No pasa lo mismo con todas las cosas, que cada una tiene sólo muy, muy pocos lugares que son “ordenados” para ella?.

Hija: Sí, Papá, pero el Mago de Oz puede ir en cualquier lugar del estante. ¿Sabes una cosa?. Me molesta mucho, pero mucho, cuando mis libros se mezclan con tus libros y los libros de mami.

Padre: Sí, ya lo sé. (Pausa).

Hija: Papá, no terminastes lo que estabas diciendo. ¿Por qué mis cosas se ponen de la manera que yo digo que no es ordenada?.

Padre: Pero sí que terminé... precisamente porque hay más maneras que tú llamas “desordenadas” que las que llamas “ordenadas”.

Hija: Pero esa no es una razón para...

Padre: Te equivocas, lo es. Y es la verdadera y única y muy importante razón.

Hija: ¡Ufa, papá, basta con eso!.

Padre: No, no bromeo. Esa es la razón y toda la ciencia ensamblada mediante esta razón. Tomemos otro ejemplo. Si pongo un poco de arena en el fondo de esta taza y encima de ella pongo un poco de azúcar y lo revuelvo con una cucharilla, la arena y el azúcar se mezclarán, ¿no es cierto?.

Hija: Sí, pero papá, ¿te parece bien pasar a hablar de “mezclado” cuando comenzamos hablando de “desordenado”?.

Padre: Es que... bueno... me parece que sí... Sí, porque supongamos que encontramos a alguien que piensa que es más ordenado colocar toda la arena debajo de todo el azúcar. Y, si quieres, no tengo inconveniente en decir que yo pienso de esa manera...

Hija ¿Si...?.

Padre: Está bien, tomemos otro ejemplo. Algunas veces, en el cine, tú ves un montón de letras del alfabeto, desparramadas por todas partes en la pantalla, hechas un revoltijo y algunas hasta patas arriba. Y entonces alguien sacude la mesa donde están las letras y éstas comienzan a moverse y luego, a medida que las siguen sacudiendo, las letras se reúnen y forman el título de la película.

Hija: Sí, las vi... lo que formaban era DONALD.

Padre: No tiene importancia lo que formaban. El asunto es que tu viste que algo era sacudido y batido, y en vez de quedar más mezclado que antes, las letras se reunieron en un orden, todas de pie y formaron una palabra... formaron algo que la mayoría de las personas estará de acuerdo en que tiene sentido.

Hija: Sí, papá, pero sabes que...

Padre: No, no lo sé; lo que trataba de decir es que en el mundo real de las cosas nunca suceden de esa manera. Eso pasa sólo en las películas.

Hija: Pero, papá...

Padre: Te digo que solo en las películas se pueden sacudir cosas y éstas parecen adquirir más orden y sentido del que tenían antes...

Hija: Pero, papá...

Padre: Esta vez déjame terminar... Y en el cine, para que las cosas parezcan así, lo que hacen es filmar todo al revés. Ponen todas las letras en orden para que se lea DONALD, las filman y luego comienzan a sacudir la mesa.

Hija: ¡ Pero si ya lo sé, papá! Y eso era lo que quería decirte. Y cuando proyectan la película la pasan hacia atrás, y parece como si todo hubiera pasado hacia adelante, pero en realidad sacudieron las letras después de ordenarlas. Y las tienen que fotografiar patas arriba... ¿Por qué lo hacen?.

Padre: ¡Santo cielo!.

Hija: ¿Por qué tienen que poner la cámara cabeza abajo, papá?

Padre: No te voy a responder ahora esa pregunta porque estamos en el medio de la pregunta sobre los revoltijos.

Hija:¡Ah, es verdad! Pero no te olvides, papito, que otro día me tienes que responder la pregunta sobre la cámara boca abajo. ¡No te olvides!. ¿Verdad que no te vas a olvidar, papá?. Porque a lo mejor yo me olvido. Sé buenito, papá.

Padre: Bueno, sí, pero otro día. ¿En qué estábamos? Ah, sí en que las cosas nunca suceden hacia atrás. Y trataba de explicarte por qué hay una razón de que las cosas sucedan de cierta manera si podemos mostrar que esa manera tiene más maneras de suceder que alguna otra manera.

Hija: Papá, no empieces a decir tonterías.

Padre: No estoy diciendo tonterías. Empecemos de nuevo. Hay una sola manera de escribir DONALD. ¿Estas de acuerdo?.

Hija: Sí.

Padre: Magnífico. Y hay millones y millones y millones de manera de esparcir seis letras sobre una mesa. ¿De acuerdo?.

Hija: Sí. Me parece que sí. ¿Y algunas de esas pueden ser patas arriba?.

Padre: Sí. Exactamente como en ese revoltijo en que estaban en la película. Pero pueden haber millones de revoltijos como ése, ¿no es verdad?. ¿Y uno solo de ellos forma la palabra DONALD?.

Hija: De acuerdo, sí. Pero, papito, las mismas letras podrán formar OLD DAN.

Padre: No te preocupes. Los que hacen las películas no quieren que las letras formen OLD DAN sino DONALD.

Hija: ¿Y por qué?.

Padre: ¡Deja tranquilos a los que hacen las películas!.

Hija: Pero fuiste tú el que habló de ellos, papá.

Padre: Sí, bueno, pero era para tratar de decirte por qué las cosas suceden de aquella manera en las que hay mayor número posible de maneras de que suceda. Y ya es hora de irse a la cama.

Hija: ¡Pero, papá, si no terminaste de decirme por qué las cosas suceden de esa manera, de la manera que tiene más maneras!

Padre: Está bien. Pero no pongas más motores en funcionamiento... con uno basta y sobra. Además, estoy cansado de DONALD. Busquemos otro ejemplo. Hablemos de tirar monedas a cara o sello.

Hija: Papá, ¿estás hablando de la misma pregunta por la que comenzamos, la de “por qué se desordenan las cosas”?.

Padre: Sí.

Hija: ¿Entonces, papá, lo que tratas de decirme sirve para las monedas, para DONALD, para el azúcar y la arena y para mi caja de pinturas y para las monedas?.

Padre: Sí, efectivamente.

Hija: ¡Ah, bueno, es que me lo estaba preguntando!.

Padre: Bueno, a ver si esta vez logro acabar de decirlo. Volvamos a la arena y el azúcar y supongamos que alguien dice que poner la arena en el fondo de la taza es “arreglado” u “ordenado”.

Hija: ¿Hace falta que alguien diga algo así para que puedas seguir hablando de cómo se mezclarán las cosas cuando las revuelvas?.

Padre: Sí... Ahí está precisamente el punto. Dicen lo que esperan que suceda y luego yo les digo que no sucederá porque hay tal cantidad de otras cosas que podrían suceder. Y yo sé que es más probable que suceda una de las muchas cosas y no de las pocas.

Hija: Papá, tú no eres más que un viejo que hace libros, que apuesta a todos los caballos menos al único al que quiero apostar yo.

Padre: Es cierto, querida. Yo les hago apostar según lo que llaman la manera “ordenada” –sé que hay infinitamente muchas maneras desordenadas- y por eso las cosas siempre se encaminarán hacia el revoltijo y la mixtura.

Hija: ¿Pero por qué no lo dijiste al comienzo, papá? Yo lo hubiera podido entender perfectamente.

Padre: Supongo que sí. De todas maneras, es hora de irse a la cama.

Hija: Papá ¿por qué los grandes hacen la guerra, en vez de sólo pelear, como hacen los chicos?

Padre: Nada: a dormir. Ya terminé contigo. Hablaremos de la guerra otro día.

FIN (Tomado prestado de http://www.inf.utfsm.cl/)

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Gregory Bateson, Pasos hacia una ecología de la mente .....


Este gran biólogo, que consideraba los muchos campos que investigó (la antropología, la epistemología, la psiquiatría, la cibernética, etc.) como ramas de la biología, bregó toda su vida por descubrir principios comunes de organización en el universo, o como él decía, encontrar “la pauta que conecta”. Su pensamiento abrió la puerta a la comprensión de la naturaleza de la Mente como fenómeno sistémico y se convirtió en uno de los primeros intentos exitosos de la ciencia por superar la división cartesiana entre mente y cuerpo.

Bateson desarrolló el concepto de que siempre “Hay Mentes dentro de las Mentes”. Un ser humano es una Mente, pero al momento que levanta un hacha y comienza a cortar un árbol, es parte de una Mente mayor. El bosque que lo rodea es una Mente aún mayor y así sucesivamente. En esta serie de niveles, el tema es la homeostasis de la unidad mayor. Así, la “persona” o el “organismo” debe ser visto como una mente integrante, NO como una unidad independiente. Para Bateson, no hay un “sí mismo” que está cortando un árbol “allá afuera”, más bien se está realizando una relación de información en un circuito sistémico .... Una Mente.

Bateson sostiene que el ego individual es sólo el aspecto visible del “sí mismo” mayor. Insiste en que esa parte nunca puede conocer la totalidad, sino sólo ponerse a su servicio – si prevalece la sabiduría. Para Bateson cualquier falta de sabiduría sistémica será siempre castigada. En sus propias palabras, “si se lucha contra la ecología de un sistema, se pierde –especialmente cuando se gana”. (Revista Con-Spirando).

- - - - -
Comentario del libro, MUY personal : Aún siendo de no fácil lectura - por sus contenidos a veces técnicos - esta gruesa colección de artículos y conferencias te abre a momentos delirantes. Muchas veces uno cree descubrir -dentro de su propia ignorancia- esa pauta que conecta tan buscada por Bateson. Este es uno de los pocos libros que me ha lanzado a estallar de alegría, cuando se fueron produciendo ciertos satoris científicos. Bateson escribe con gracia, contando anécdotas, con una cierta picardía .... al comienzo del libro levanta unos metálogos (escrituras temáticas que introducen el tema a la trama o al estilo de la escritura) MUY entretenidos, en donde conversa con su hija o nieta y en donde se explican temas muy contingentes al nuevo paradigma de las ciencias, como por ejemplo CAOS y ENTROPIA, en el metálogo titulado: ¿Por qué se desordenan las cosas", impresionante ....

“Lo que se sacrifica con la elevación de la conciencia humana sobre el proceso natural no es sólo la idea de la inteligencia de la naturaleza, sino que la propia experiencia de estar inmerso en un todo mayor. Una profunda y continua relación con todas las otras formas de existencia es un aspecto antiguo de la conciencia humana. Uno se la encuentra en los niños y niñas que gozan con las plantas y animales. Y mantenemos este conocimiento vivo en los mitos y cuentos que contamos a nuestros hijos acerca del mundo natural. Pero el niño se convierte en adulto. La cultura lo educa a imaginar su propia inteligencia como única y aislada en el universo. El conocer ya no es más erótico, no es más relacional, sino que viene con un sentido de escape de la confusión de la existencia material. A través de un creciente proceso de separación del cuerpo, de las emociones, de la experiencia directa, la naturaleza se convierte en una extraña. (.....) La interdependencia del pensamiento humano y del medio ambiente es un tópico vasto que no ha sido explorado en ninguna parte con la misma pasión que la afirmación de independencia.” Susan Griffin.

¿ Qué es Racionalizar ?

RACIONALIZACION:

Es el proceso mediante el cual expresiones que tienen denominador irracional, transforman su denominador en racional.

Para ello lo que se hace es amplificar la fracción .... por "1". Un uno muy especial, que permite lograr quitar los irracionales del denominador.

Por ejemplo, amplificar:
Algunas de las principales reglas de la Racionalización .....


domingo, 26 de abril de 2009

Un(a) buen(a) matemático(a) debiese ser vegetariano ....

Mira los siguientes elementos:

1) Para cosechar 1 kg. de trigo se necesitas 1000 litros de agua.

2) Para consumir un Kg. de carne necesitamos 15.000 litros de agua.

3) El consumo en USA-Europa, es per cápita, de 5.000 litros de agua al día.

4) Las dietas arroceras-vegetarianas de Asia requieren sólo de 2.000 litros de agua, en promedio, per cápita.

5) En 1985, cada chino consumió 20 Kg. de carne x año.

6) En este año 2009, cuando sean 1300 millones de chinos, se consumirán 50 kg de carne al año, per cápita.

TAREA: Expresar en notación científica la cantidad de agua que se consumirán en China como efecto del consumo de carne ....

Debemos limitar o eliminar la carne de nuestras dietas personales, para evitar se desforeste más la tierra pro producción ganadera, que adicionalmente aumenta los gases termoactivos.

Respuesta: ya viene .....

viernes, 24 de abril de 2009

Divertimentos para el fin de semana ....

Estas son muy buenas definiciones creadas por el grupo Argentino Les Luthiers

POLINESIA: mujer policía que no entiende razones.
CAMARON: aparato enorme que saca fotos.
DECIMAL: pronuncialo equivocadamente.
BECERRO: observa una loma o colina.
BERMUDAS: observar a las que no hablan.
TELEPATIA: aparato de TV para la hermana de mi mamá.
TELON: TV de 50 pulgadas o más.
ANOMALO: hemorroides.
BENCENO: lo que los bebés miran con los ojos cuando toman leche.
DIADEMA: veintinueve de febrero.
DILEMAS: hablale más.
DIOGENES: la embarazó.
ENDOSCOPIO: me preparo para todos los exámenes excepto para dos.
MEOLLO: me escucho.
TALENTO: no tan rápido.
NITRATO: frustracion superada.
PLATON: plato grande.
REPARTO: mellizos.
REPUBLICA: mujerzuela sumamente conocida.
ZARAGOZA: bien por Sara...!

Con buen ingenio, el cuadro muestra como ....

Los(as) matemáticos(as) también nos divertimos con las palabras y ojo que aquí hay habilidades relativas al manejo de los espacios, hay inteligencia de tipo lateral, etc., etc. ......

con tres líneas (azules) se pueden separar 4 nombres ..... pero, ¿Se puede hacer sólo con dos líneas?
Nota: la respuesta la dio en los comentarios una amiga que se cree mala para las matemáticas !!!! (je je ..... , nadie es malo(a) para las matemáticas!)

jueves, 23 de abril de 2009

0) SIMCE - Matematicas 2001 - 8avo. año



Observa la siguiente figura que está formada por tres triángulos equiláteros.





¿Cuánto mide el ángulo marcado?
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
Solución:

1) SIMCE - Matemáticas 2001 - 8avo. año

Las cajas del dibujo miden 8,5 cm de ancho cada una. ¿Cuál es la mejor estimación del largo de la repisa?
A. 6 cm
B. 40 cm
C. 53 cm
D. 63 cm

Solución: Yo a simple ojo veo que la longitud 8,5 cm cabe como 6 veces en la longitud total ... pero luego en el editor de imágenes lo comprobé más directamente, veamos:

Luego, mi estimación sería (8,5 cm) x 6 veces = 51, por tanto la mejor aproximación de las alternativas dadas es de 53 cm.

Adenás, el estante tiene las maderas del borde, ellas también extienden la longitud ...

2) SIMCE - Matemáticas 2001 - 8avo. año

Para comprar un casete que cuesta $ 4.000, dos hermanos decidieron aportar una cantidad proporcional de sus ahorros. Si Paula tiene $ 6.000 y Danilo $ 10.000, ¿cuánto debe aportar cada uno para comprar el casete?

A. Paula: $ 1.000 y Danilo: $ 3.000
B. Paula: $ 1.500 y Danilo: $ 2.500
C. Paula: $ 1.600 y Danilo: $ 2.400
D. Paula: $ 2.000 y Danilo: $ 2.000

OJO PIOJO,
Este es uno de esos ejercicios que se por inspección, casi sin usar lápiz.
Obviamente las cantidades de Paula y Danilo deben sumar 4000, esolo cumplen todas las alternativas .... pero ambas cantidades,deben estar en la razón de 6000/10000=3/5

Solmante B) ..... 1.500/2.500 está en la relación de 3/5

Eso es todo, la alternativa correcta es la B.

3) SIMCE - Matematicas 2001 - 8avo. año

La siguiente tabla muestra los porcentajes de superficie sembrada de trigo en distintas regiones del país entre los años 2001 y 2002.
¿Cuál de los siguientes gráficos circulares representa mejor los datos de la tabla?

Creemos que la que mejor representa es la alternativa D)

4) SIMCE - Matematicas 2001 - 8avo. año

Un grupo de amigos organiza una carrera en una plaza. Ellos marcan el recorrido, formando un triángulo rectángulo, como se muestra en el dibujo.

¿Cuántos metros recorren en una vuelta completa?
A. 42 m
B. 48 m
C. 56 m
D. 84 m


Puesto que 12 m y 16 m están como catetos de un triángulo rectángulo, la hipotenusa debe ser 20, puesto que 12-16-20 son un trío pitagórico ..... luego una vuelta completa es: 12 m + 16m + 20 m = 48 metros, Alternativa B).


Una ayudita .... pero primero llamamos h a la hipotenusa .....

5) SIMCE - Matemáticas 2001 - 8avo. año

Jorge y Mario inventaron un juego en el que cada jugador parte con 1 punto y cada vez
que gana, su puntaje se duplica. Jorge ganó 6 veces y Mario 5 veces.
¿Cuántos puntos de ventaja obtuvo Jorge sobre Mario?

A. 1
B. 2
C. 16
D. 32

Jorge parte con 1 punto, gana seis veces y en cada una de ellas su puntaje se duplica, es decir:

1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 elevado a 6 =
De forma similar, Mario parte con 1 punto y se duplica 5 veces = 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =
La diferencia entonces será: 64 - 32 = 32, Alternativa D).

Ítaca

Ítaca “Cuando emprendas tu viaje a Ítaca
pide que el camino sea largo,
lleno de aventuras, lleno de experiencias (…)

Ten siempre a Ítaca en tu pensamiento.
Tu llegada allí es tu destino.
Mas no apresures nunca el viaje.
mejor que dure muchos años
y atracar, viejo ya, en la isla,
enriquecido de cuanto ganaste en el camino
sin aguardar a que Ítaca te enriquezca.

Ítaca te brindó tan hermoso viaje.
Sin ella no habrías emprendido el camino.
Pero no tiene ya nada que darte (…)

Aunque la halles pobre, Ítaca no te ha engañado.
Así, sabio como te has vuelto,
con tanta experiencia,
entenderás ya qué significan las Ítacas.”

(Ítaca, K. Kavafis)

Se despierta a las 4 am, oscura y un poco inquieta. Como si fuera su primer día de clases y temiera enfrentarse a un puñado de jóvenes desconocidos y expectantes ante la profe nueva. Como si el corazón se le apretara su poco al pensar en todo lo que significa comenzar a ser profesora.

Pero ya no es esa profe nueva…ahora le pesan los años y algunas ilusiones –no todas- han quedado en el camino. ¡Cuántas cosas soñaba cuando empezó a recorrer esos rumbos! Pero también cuánto temor de equivocarse y no alcanzar la cercanía con aquellos a quienes buscaba, sus estudiantes. Por esa cercanía se había hecho profesora, por soñar con alcanzarla junto a los jóvenes, tal como su profesora de Historia había hecho con ella.

Por eso aún era profesora, pensaba, sabía. Ahora ya no recordaba qué había sentido el primer día, cómo había sido el entrar a la sala y ver aquellos 15 o 16 rostros mirarla. Solo recordaba las caras expectantes de aquellos niños y niñas, un 7º básico, su primer curso de Historia y de jefatura. Uff, ellos y sus 12 años llenos de movimiento y rebeldía…ella llena de parsimoniosos proyectos por concretar.

Rebelde como había sido en sus propios doce, quince, dieciocho, veintitantos años, creía que lidiar con la rebeldía de ellos no iba a ser difícil…pero se equivocaba…criada en otros años y otras urgencias, ahora se le aparecían vacías sus quejas –las de ellos- escasas sus razones, ausentes sus grandes causas. Pensó que se había equivocado. Que mejor hubiera sido la sociología para aquellos anhelos que la perseguían, para calmar aquellas urgencias poderosas que sentía le agarrotaban el cuerpo y el alma. ¿Qué diablos podía hacer allí, en medio de esas caras que esperaban todo y nada de ella?

Pero ¿Cómo reconocer su derrota aún antes de dar la pelea de verdad? Sin decidirlo, siguió un día, y otro, y otros. A ratos volvía a sentir la desazón de las miradas incomprendidas, de ella y de ellos. A ratos sus ojos se conectaban con un mundo en llamas dentro de sus frágiles cuerpos y parecía que valía la pena estar allí, aunque fuera sólo para eso, para que sus miradas no cayeran en el vacío de un adulto ajeno y distante.

Comenzó a disfrutar de sus dudas -las de sus alumnos-, de sus rebeldías con y sin causa, de su compañía –la historia y la geografía relegada a un segundo o tercer lugar- y a pensar que quizá los tiempo no eran ya los de las grandes cruzadas pero bien valía el cruzar las miradas y recibir la calidez como respuesta. Por caminos diversos su vida se iba llenando de tristeza y preocupaciones, pero entraba a la sala y el lastre de todas aquellas penas quedaba afuera.

Allí era otra, allí su dolor dolía menos porque no era nada frente a los dolores y alegrías de aquellos que le confiaban, allí sentía que podía hacer algo por alguien…como si en ese hacer estuviera pagando la deuda de gratitud hacia quienes le habían insuflado la vida cuando se marchitaba en la intrascendente adolescencia y en la impotencia de su hogareño abandono.

Algo por alguien…alguien había hecho algo, mucho, por ella y eso la había marcado para siempre. Ella quería –soñaba- hacer eso, aunque fuera en su imperfecta y limitada manera de ser. Una profe. Una profe como aquella que le había “salvado” la vida. Son las 6 am. Comienza a aclararse su ventana. Pero ella sigue oscura. No sabe dónde quedó tanto ímpetu e ilusiones. Si acaso fueron los años o los golpes. No sabe. Quisiera saber. Quisiera saber cuándo volverá a su destino. Quisiera saber cuándo volverá a hacer algo…por alguien.

Claudia Drago
http://peuma.unblog.fr/2009/04/20/itaca/

miércoles, 22 de abril de 2009

Una prueba Visual ....


Viendo la siguiente imagen a qué dirías que es igual la suma de 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 + …
Es una prueba visual que nos “traemos” desde el nuevo número de “La hoja volante“; una revista de divulgación matemática escrita por Matías Núñez y Carlos Vinuesa desde el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid y dirigida a ti mismamente si te gustan aunque sea un poquito las matemáticas. Gratuita; se publica vía web y vía papel.


¿Cuánto da la suma?

Filmografía Matemática (Tomado de la Universidad de Sevilla)


Filmografía

La habitación de Fermat [Video]. Dirigida por Luis Piedrahita, Rodrigo Sopeña. Madrid : Manga Films, 2008.

Los crímenes de Oxford [Vídeo]. Alex de la Iglesia. Warner Bros, 2007

Los ICM a través de la historia : emisión 16-07-06, programa 118/05-06. Idea de Emilio Bujalance. [s.l.] : Universidad Nacional de Educación a Distancia, 2006

Cube Zero [Vídeo]. Una película de Ernie Barbarash. Barcelona : DeAPlaneta, 2004

Una mente maravillosa [Vídeo] = A beautiful mind. Directed by Ron Howard ; produced by Brian Grazer ; written by Akiva Goldsman. Barcelona : Dreamworks, 2002

The fantastic world of M.C. Escher [Vídeo]. A film by Michele Emmer. Berlín, etc.: Springer-Verlag, 2001

Cube [Vídeo]. Dirigida por Vicenzo Natali ; producida por Mehra Meh y Betti Orr ; escrita por Andre Bijelic, Vicenzo Natali y Graeme Manson. Madrid : Divisa ediciones, D.L. 2000

Pi : fe en el caos [Vídeo]. Guión y dirección Darren Aronofsky ; producción Eric Watson para Harvest Film Works Truth & Soul. Barcelona : Filmax Home Video, 2000

Non-euclidean geometry [Vídeo] = La geometría no euclidiana. Introduced by Jeremy Gray ; produced by Andrew Barker ; a production for the Open University [by] the BBC TV. [London] BBC Television, 1987

Fundamental theorem of algebra [Vídeo] = El teorema fonamental de l’àlgebra. Introduced by Allan Salomon; a production for the Open University [by] the BBC TV. London: BBC Television, 1978

Fundamental theorem of calculus [Vídeo]. Production, John Jakorwski, Jean Nunn. Milton Keynes Open University, 1977
Bibliografía
POBLACIÓN SÁEZ, Alfonso Jesús. Las matemáticas en el cine. Granada: Proyecto Sur de Ediciones: Real Sociedad Matemática Española, 2006

Tolstoi ....

Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto que el denominador es lo que cree ser.
Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción.
Tolstoi

En palabras simples: Geometría y Tipos de Geometrías

La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

En el ámbito de las matemáticas, se distinguen varias clases de geometría:

· Geometría Algorítmica: Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.

· Geometría Analítica: Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.

· Geometría del Espacio: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.

· Geometría Descriptiva: Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.

· Geometría Plana: Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

· Geometría Proyectiva: Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

(Tomada de http://crisyra.wordpress.com/)

martes, 21 de abril de 2009

Desafío Olímpico 1 (Enseñanza Media)


En el triángulo ABC, AB = 1, BC=2 y el ángulo ABC es de 72º.

Se rota el triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el triángulo A'BC'.

Si A, B, C' son colineales (estar en una misma línea) y el arco AA' es el descrito por A durante su rotación, ¿Cuánto vale el área sombreada?

Alternativas:
Respuesta: Ya vendrá ....

Parece que la correcta es la C)

Desafío Olímpico 2 (Enseñanza Media)

Calcular el valor de x



A) 1
B) -1
C) 2
D) -0,5
E) NA


Respuesta: Ya vendrá .... desarrollemos:



Lo cual es coherente, fíjese que las constantes al interior de cada binomio al cuadrado, son parte de la terna (o trío) pitagórica(o) (3, 4, 5) .... por lo tanto, elevadas al cuadrado y sumadas 3^2 + 4^2 = 5^2; no necesitan sino que 4x = 3x = 5x = 0, para lo cual x debe ser cero.

La respuesta es E), Ninguna de las anteriores.

Desafío Olímpico 3 (Enseñanza Básica)

Un kilo de manzanas vale 25 % más que un kilo de naranjas y este vale un 10 % más que un kilo de peras. Si las peras valen 100 pesos el kilo, ¿Cuatro kilos de manzanas cuánto valen en pesos?

A) 137,5
B) 550
C) 135
D) 142
E) NA

Respuesta: Ya viene!

El precio "P" de las peras en P= 100 (por cada Kg)
El precio "n" de las naranjas es n = 1,1 x 100= 110 (por cada Kg)
El precio "m" de las manzanas es m = 1,25 x n = 1,25 x (1,1 x 100) = 137,5 (por cada Kg)

NO crea que la respuesta es la A)

Porque: necesitamos 4 Kg de manzanas: respuesta: 4 x 137,5 = 550

Desafío Olímpico 4 (Enseñanza Básica)

Sean:

a= 0,5
b= 0,05
c= 0,005

Entonces: (a x c)/b

A) 0,0005
B) 0,05
C) 0,005
D) 0,5
E) 5

Respuesta: Ya viene

Desafío Olímpico 5

Determina la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectágulo, en función de "a", cuyos catetos son: (a-2) cm , (a) cm y la hipotenusa (a+2) cm.

Respuesta: Ya viene!

Del Teorema de Euclides sabemos que

h = (a x b) / c

donde:

a= cateto 1
b= cateto 2
c= hipotenusa.

h= a x (a-2)/(a+2)

Chatear .... un desafío PISA

Mark (de Sydney, Australia) y Hans (de Berlín, Alemania) se comunican a menudo a través de Internet mediante el chat.

Tienen que conectarse a Internet a la vez para poder "chatear".

Para encontrar una hora apropiada para chatear, Mark buscó un mapa horario mundial y halló lo siguiente:
Pregunta:
Cuando son las 7:00 de la tarde en Sydney, ¿qué hora es en Berlín?

Respuesta: . . . . . . . . . . . . . .

Albert Einstein: ¿ Por qué el Socialismo ? (Extracto en donde habla sobre educación)

(Extracto)

La anarquía económica de la sociedad capitalista tal como existe hoy es, en mi opinión, la verdadera fuente del mal. Vemos ante nosotros a una comunidad enorme de productores que se están esforzando incesantemente privándose de los frutos de su trabajo colectivo -- no por la fuerza, sino en general en conformidad fiel con reglas legalmente establecidas. A este respecto, es importante señalar que los medios de producción --es decir, la capacidad productiva entera que es necesaria para producir bienes de consumo tanto como capital adicional-- puede legalmente ser, y en su mayor parte es, propiedad privada de particulares.
-
En aras de la simplicidad, en la discusión que sigue llamaré "trabajadores" a todos los que no compartan la propiedad de los medios de producción -- aunque esto no corresponda al uso habitual del término. Los propietarios de los medios de producción están en posición de comprar la fuerza de trabajo del trabajador. Usando los medios de producción, el trabajador produce nuevos bienes que se convierten en propiedad del capitalista. El punto esencial en este proceso es la relación entre lo que produce el trabajador y lo que le es pagado, ambos medidos en valor real. En cuanto que el contrato de trabajo es "libre", lo que el trabajador recibe está determinado no por el valor real de los bienes que produce, sino por sus necesidades mínimas y por la demanda de los capitalistas de fuerza de trabajo en relación con el número de trabajadores compitiendo por trabajar. Es importante entender que incluso en teoría el salario del trabajador no está determinado por el valor de su producto.
-
El capital privado tiende a concentrarse en pocas manos, en parte debido a la competencia entre los capitalistas, y en parte porque el desarrollo tecnológico y el aumento de la división del trabajo animan la formación de unidades de producción más grandes a expensas de las más pequeñas. El resultado de este proceso es una oligarquía del capital privado cuyo enorme poder no se puede controlar con eficacia incluso en una sociedad organizada políticamente de forma democrática. Esto es así porque los miembros de los cuerpos legislativos son seleccionados por los partidos políticos, financiados en gran parte o influidos de otra manera por los capitalistas privados quienes, para todos los propósitos prácticos, separan al electorado de la legislatura. La consecuencia es que los representantes del pueblo de hecho no protegen suficientemente los intereses de los grupos no privilegiados de la población. Por otra parte, bajo las condiciones existentes, los capitalistas privados inevitablemente controlan, directamente o indirectamente, las fuentes principales de información (prensa, radio, educación). Es así extremadamente difícil, y de hecho en la mayoría de los casos absolutamente imposible, para el ciudadano individual obtener conclusiones objetivas y hacer un uso inteligente de sus derechos políticos.
-
La situación que prevalece en una economía basada en la propiedad privada del capital está así caracterizada en lo principal: primero, los medios de la producción (capital) son poseídos de forma privada y los propietarios disponen de ellos como lo consideran oportuno; en segundo lugar, el contrato de trabajo es libre. Por supuesto, no existe una sociedad capitalista pura en este sentido. En particular, debe notarse que los trabajadores, a través de luchas políticas largas y amargas, han tenido éxito en asegurar una forma algo mejorada de "contrato de trabajo libre" para ciertas categorías de trabajadores. Pero tomada en su conjunto, la economía actual no se diferencia mucho de capitalismo "puro". La producción está orientada hacia el beneficio, no hacia el uso. No está garantizado que todos los que tienen capacidad y quieran trabajar puedan encontrar empleo; existe casi siempre un "ejército de parados". El trabajador está constantemente atemorizado con perder su trabajo. Desde que parados y trabajadores mal pagados no proporcionan un mercado rentable, la producción de los bienes de consumo está restringida, y la consecuencia es una gran privación. El progreso tecnológico produce con frecuencia más desempleo en vez de facilitar la carga del trabajo para todos. La motivación del beneficio, conjuntamente con la competencia entre capitalistas, es responsable de una inestabilidad en la acumulación y en la utilización del capital que conduce a depresiones cada vez más severas. La competencia ilimitada conduce a un desperdicio enorme de trabajo, y a ése amputar la conciencia social de los individuos que mencioné antes.
-
Considero esta mutilación de los individuos el peor mal del capitalismo. Nuestro sistema educativo entero sufre de este mal. Se inculca una actitud competitiva exagerada al estudiante, que es entrenado para adorar el éxito codicioso como preparación para su carrera futura.
-
Estoy convencido de que hay solamente un camino para eliminar estos graves males, el establecimiento de una economía socialista, acompañado por un sistema educativo orientado hacia metas sociales.
-
En una economía así, los medios de producción son poseídos por la sociedad y utilizados de una forma planificada. Una economía planificada que ajuste la producción a las necesidades de la comunidad, distribuiría el trabajo a realizar entre todos los capacitados para trabajar y garantizaría un sustento a cada hombre, mujer, y niño. La educación del individuo, además de promover sus propias capacidades naturales, procuraría desarrollar en él un sentido de la responsabilidad para sus compañeros-hombres en lugar de la glorificación del poder y del éxito que se da en nuestra sociedad actual.
-
Sin embargo, es necesario recordar que una economía planificada no es todavía socialismo. Una economía planificada puede estar acompañada de la completa esclavitud del individuo. La realización del socialismo requiere solucionar algunos problemas sociopolíticos extremadamente difíciles: ¿cómo es posible, con una centralización de gran envergadura del poder político y económico, evitar que la burocracia llegue a ser todopoderosa y arrogante? ¿Cómo pueden estar protegidos los derechos del individuo y cómo asegurar un contrapeso democrático al poder de la burocracia?

lunes, 20 de abril de 2009

Ecuación Diofántica de Olimpiadas (ver dos posteos más abajo)

Resolver (x/2) + (y/4) + (z/16) = 1,4375, de modo que x,y, z son números naturales y las fracciones resultantes son irreductibles.

Buscar en este mismo blog por Ecuaciones Diofánticas ....

Tomado de los Juegos Interregionales SUR - Osorno

Respuesta: OJO que una ecuación diofántica puede tener muchas respuestas!

Multiplicamos la ecuación por el mayor denominador (16), entonces queda:

8x + 4y + z = 23

Acá z debe ser un número tal que al ser restado de 23 de otro número que sea divisible por 4. z puede ser: 3, 7, 11, 15, 19 ....

1) Pensemos en z=3

8x + 4y + 3 = 23
8x + 4y = 20 / Dividiendo por 4
2x + y = 5

si x = 2, y = 1

(Entonces x=2: y = 1 ; z=3)
y se cumple que: 2/2 + 1/4 + 3/16 = 1,4375 ....

Pero la fracción x/2 no sería irreductible!

2) También hay solución para z=7

8x + 4y + 7 = 23
8x + 4y = 16 /Diviidnedo por 4
2x + y = 4

Se cumple para x=1; y=2
(Entonces x=1 ; y=2 ; z=7), pero NO todas las fracciones serían irreductibles (y/4, NO!)

3) Veamos z=11
8x + 4y + 11 = 23
8x + 4y = 12 /Dividiendo por 4.
2x + y = 3

Aquí vale para x=1; y = 1 y si todas las fracciones serían irreductibles !!!!

1/2 ; 1/4 ; 11/16 BIEN !!!!!

4) Veamos z=15

8x + 4y + 15 = 23
8x + 4y = 8 /dividiendo por 4
2x + y = 2

No hay combinaciones de 2 números naturales que la cumplan (tomando el cero como NO natural !)

5) Pero no se cumple cuando z=19

8x + 4y + 19 = 23
8x + 4y = 4 /dividiendo por 4
2x + y = 1

En este caso x e y no podrían ser a la vez números naturales ....