"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

por amor a las matemáticas .....
"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

Guías Mates Asociadas

Para contactarte conmigo:

mail: psumates2009@gmail.com

Rivers de Ennio Morricone

Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

viernes, 30 de enero de 2009

Jugar 20 Q


Se trata de lo último en inteligencia artificial. 20Q un pequeño juguete electrónico del tamaño de una pelota de tenis que intentará acertar lo que estamos pensando antes de llegar a hacernos 20 preguntas sobre lo que tenemos en nuestra mente
(de ahí el nombre 20Q, 20 questions, 20 preguntas).

Señores y corbatas

Almorzaban Juntos tres políticos: El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Amarillo; uno llevaba corbata blanca, otro corbata roja y el otro corbata amarilla pero no necesariamente en ese orden. "Es curioso dijo el señor de corbata roja – nuestros apellidos son los mismos que nuestras corbatas, pero ninguno lleva la que corresponde al suyo". "Tiene Ud. razón", dijo el señor Blanco.
-
¿De qué color llevaba la corbata el señor Amarillo, el señor Rojo y el señor Blanco, respectivamente?

a.- Blanco, rojo, amarillo.
b.- Rojo, amarillo, blanco.
c.- Amarillo, blanco, rojo.
d.- Rojo, blanco, amarillo.
e.- Blanco, amarillo, rojo.

Respuesta:

Hagamos una matriz de señores y corbatas:

Es obvio en ella, tal como lo dice el problema, que Ninguno de los señores tiene la corbata del color que coincide con el de su apellido. Esto elimina la diagonal.
-

De la frase: “Es curios dijo el señor de corbata roja .... “Tiene Ud. razón “, dijo el señor Blanco. Se desprende que el señor Blanco no puede tener la corbata roja, pues le acaba de hablar el que la tiene. Por tanto el señor Blanco tiene la corbata amarilla.
-

La corbata Roja no la puede tener el señor Rojo, tampoco la tiene el señor Blanco, por tanto la tiene el señor Amarillo .... de allí se llena lo que falta !!!!

Señor Amarillo, Señor Rojo, Señor Blanco : Roja, Blanca, Amarilla
Respuesta D)

Divertimento .....

¿Alguna vez han leído un relato que esté formado por frases autoalusivas?

El siguiente extracto del cuento de David Moser a través de, está publicado en Microsiervos :

ESTE ES EL TÍTULO DE ESTE CUENTO, QUE SE ENCUENTRA TAMBIÉN VARIAS VECES EN EL CUENTO MISMO.

"Esta es la primera frase de este cuento. Esta es la segunda frase. Este es el título de este cuento, que se encuentra también varias veces en el cuento mismo. Esta frase pone en duda el valor intrínseco de las dos primeras frases. Esta frase tiene por finalidad informarle, en el caso de que no se haya dado cuenta ya, de que éste es un cuento auto-alusivo, es decir, un cuento que contiene frases que aluden a su propia estructura y función. Esta es una frase que da fin al primer párrafo.
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Esta es la primera frase de un nuevo párrafo auto-alusivo. Esta frase sirve para presentarle a usted al protagonista de este cuento, que es un jovencito llamado Billy...."

La paradoja de Nicolasita-Inti Simoncito

La paradoja de Nicolasita-Inti Simoncito.

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A mis dos hijos les gusta jugar con agua, sobretodo ahora en verano. Yo les advierto que el agua es MUY escasa, pero que podemos jugar con ella en el mundo de las ideas. Les digo que haremos un juego de imaginación y que por tanto dispondremos de objetos mágicos. Sean estos un “curioso reloj”, un “surtidor de infinitas gotas de agua” y un “jarro mágico loco” que crece bajo ciertas condiciones”.

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El reloj tiene sólo una aguja puesta en la hora 11 pm. y avanza hacia las 12. Cuando el reloj avance hasta la mitad de lo que le falta para las 12 pm. (es decir avance media hora, hasta las 11:30), el reloj activará el “surtidor de infinitas gotas de agua” y éste dejará caer una gota de agua que será rotulada con un número natural, partiendo en este caso desde 1. Desde esta posición, otra gota se dejará caer una vez que el reloj avance exactamente la mitad de lo que le queda (entre las 11:30 y las 12:00, hasta las 11:45) y desde la nueva posición, el proceso se repetirá sucesivamente.

La rotulación es automática y no toma tiempo.

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El “jarro mágico loco” al comienzo, tiene capacidad para una sola gota, pero se agranda si y sólo sí le cae una gota rotulada con un número natural, el 1, 2, 3, 4, 5, ….., (aquellos que nos sirven para contar). Cada vez que una gota viene rotulada con un número natural, el jarro tiene la capacidad de aumentarse en el volumen de una gota …. Si una gota no viene rotulada con un número natural, el jarro no se agranda y sería posible que se rebalse.

-

Repitamos el proceso: Cuando la aguja avanza desde las 11:00, la mitad de lo que le queda para las 12:00, cae una gota del surtidor. Esta automáticamente se rotula con el número 1 y entra en forma perfecta en el jarro que puede albergar a una gota solamente. Una vez que el reloj avance la mitad de lo que le queda para las 12:00 desde las 11:30, hasta las 11:45, dejará caer otra gota el surtidor, que será rotulada con el número 2 y el “jarro mágico loco” se agranda en la capacidad de una gota, para recibir la gota “2”. Así sucesivamente ….

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La pregunta es: una vez que sean las 12 de la noche, ¿se habrá rebalsado el jarro mágico loco?
Mis hijos no me entienden, echan al aire sus pronósticos y me dicen que estoy loco !!!!
-
Respuesta: A las 12:00 de la noche, el jarro se ha rebalsado !!!

¿Por qué ?????

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EXPLICACIÓN:

1) Este es un problema para la imaginación. 2) Posee muchas idealizaciones, pero esperamos que Ud. lo pueda aceptar. 3) Es similar a los problemas planteados por Einstein, sus paradojas para explicar las nuevas visiones de la física contemporánea. El llamada a estos experimentos los "Gedankenexperimenten" ó "Experimentos mentales" ó "Experimentos de Pensamientos" (según Annika) como cuando se preguntaba lo que sucedería si uno "cabalgara en un rayo de luz". 4) En este problema hay dos tipos de INFINITO. 5) Uno es el infinito de los números naturales (1,2,3,4,5 ....) que usamos para enumerar las gotas de agua. Este es un conjunto infinito ENUMERABLE; 6) Otro es el infinito relativo a los medios tiempos que faltan desde una posición dada hasta las 12:00 (11:30 ; 11:45 ....). En esta secuencia hay infinitos números, esto es así porque siempre entre dos números hay otro, equidistante de los extremos, que se calcula promediando los extremos, así 11:30 = (11:00 + 12:00)/2. Este es un infinito NO enumerable. 7) Este infinito NO enumerable es MAYOR que el infinito de los números naturales, por tanto, en algun rincón del país del infinito, las gotas de agua, que caen regidas por la definición de este infinito MAYOR, van a superar a los números (naturales) del infinito enumerable. 8) Obvio que NO se puede decir: "cuando los números naturales se acaben", seguirán cayendo gotas que no podrán ser rotuladas, porque los números naturales son de suyo infinitos, sólo que el infinito de gotas generado por la secuencia de los tiempos, es MUCHO mayor ....

-

Osea, ¿Hay VARIOS Tipos de INFINITO, algunos de ellos MAYORES que otros ? !!!!!

Sí!!!!!

-

Puede Ud. buscar más información en este blog usando etiquetas como "Cantor" ó "Infinito", etc.

jueves, 29 de enero de 2009

Los Presidentes a veces saben matemáticas .....

Una de las más bellas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras es mostrada a continuación.
Ésta se debe a J.A. Garfield (1876), que fue el vigésimo Presidente de los Estados Unidos de América.




Ojo que en la propia presentación, abajo, hay un botón para expandir la pantalla completa y ver mejor la figura, que a simple vista no evidencia nítidamente las letras de los lados del triángulo .....

Demostración VISUAL


miércoles, 28 de enero de 2009

Matemáticas, ¿Qué son? (Tomado de Epsilones)

Uno de los aspectos básicos en matemáticas es establecer definiciones claras y rigurosas de los objetos con los que se trabaja. Sin embargo la cosa se complica terriblemente cuando lo que tratamos es de definir la propia matemática.

En Definiendo la matemática vamos a coleccionar los intentos que matemáticos, científicos y filósofos han llevado a cabo para establecer qué son las matemáticas y para qué sirven. Por supuesto, se hará especial hincapié en la pregunta del millón: ¿por qué son tan efectivas las matemáticas?
Deiniciones:

1)
En el fondo, matemática es el nombre que le damos a la colección de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de números, en tanto que otras son relaciones más abstractas entre estructuras. La esencia de la matemática está en la relación entre cantidades y cualidades.
[...]
Por lo tanto, su existencia no es un misterio; es inevitable. En cualquier universo en el que exista un orden de cualquier clase, y por lo tanto un Universo soporte de vida, debe haber pauta, y por lo tanto debe haber matemática.
John D. Barrow
2)

“Sin embargo, a pesar de la obvia efectividad de las matemáticas en física, nunca he oído un buen argumento a priori que diga que el mundo deba estar organizado de acuerdo a principios matemáticos.”“[...] las verdades matemáticas y lógicas pueden ser verdad para cualquier tiempo porque en realidad no son sobre nada que exista. Solo hablan de posibles relaciones. Por lo tanto, es un error –una clase de error categorial- imaginar que los teorema de las matemáticas son sobre “otro” o “platónico” reino que existe fuera del tiempo. Los teoremas de las matemáticas están fuera del tiempo porque no son sobre nada real. Por el contrario, todo lo que existe debe existir dentro del tiempo”.
Lee Smolin
3)

¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad?
4)

El estudio de los objetos mentales con propiedades reproducibles se denomina matemática.
Philip J. Davis y Reuben Hersh
5)

Llámanse matemáticas las ciencias que tienen por objeto el estudio de la cantidad.-Algunos matemáticos y filósofos rechazan esta definición, que les parece poco clara. Según ellos las matemáticas comprenden todos los fenómenos físicos en su forma; y por tanto pueden definirse como la ciencia que trata de las leyes de la forma del mundo físico; y considerando que en realidad el mundo físico solo presenta a nuestro estudio las dos primeras propiedades, el tiempo y el espacio, que son las formas de lo físico, puede decirse que las matemáticas tienen por objeto las leyes del tiempo y del espacio.-La ley de la cantidad aplicada al tiempo da la sucesión de instantes, es decir, el número, y aplicada al espacio da la sucesión de puntos unidos, o sea la extensión.
Felipe Picatoste y Rodríguez
6)

Los números, como otros objetos matemáticos, son construcciones mentales cuyas raíces se encuentran en la adaptación del cerebro humano a las regularidades del universo.
¿Está el universo realmente "escrito en lenguaje matemático", como sostenía Galileo? Yo me inclino a pensar más bien que es este el único lenguaje con el cual podemos tratar de leerlo.
Stanislas Dehaene.
7)

Estudio de las verdades absolutamente necesarias.
David Deutsch.
8)

Ciencia que trata de la cantidad.
DRAE
9)
Ciencia que trata de las relaciones entre las cantidades y magnitudes y de las operaciones que permiten hallar alguna que se busca, conociendo otras.
María Moliner
10)

Es el estudio riguroso de mundos hipotéticos. Es la ciencia de lo que podría haber sido o podría ser, así como de lo que es.
Murray Gell-Mann.
11)

La matemáticas son la búsqueda de pautas.
Richard P. Feynman

12)

Las matemáticas puras consisten enteramente en afirmaciones como la de que, si tal proposición es verdadera de algo, entonces tal otra proposición es verdadera de esa misma cosa. Es esencial no discutir si la primera proposición es o no es realmente verdadera, y no mencionar qué es el algo de lo que se supone que es verdadera... Si nuestra hipótesis es sobre algo y no sobre cosas más concretas, entonces nuestras deducciones constituyen matemáticas. De ese modo, las matemáticas pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es verdad.

Así quisiera ser el Blogger, que esta fuera su imagen ....


Tomada del Blog Matemáticas Alegres ...

eL PROBLEMA DE LAS 10 MONEDAS .....

Desafío: Uno de Enseñanza Media (Desafío PSU)

Si x e y son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y?


A) (1) por si sóla.
B) (2) por si sóla.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional.

-
Respuesta, ya viene ....
-
2 elevado a cero es uno, por tanto de (1) x/y = 1; x=y, esto es suficiente para saber que son iguales.
Luego de (2) 2x + 2y = 0, 2x = -2y ; x = -y, no son igaules ....
La respuesta correcta es A), con (1) me basta, por si óla, saber que son iguales .....

Un desafío de básica .....

Escriban dos fracciones cuya suma sea exactamente uno, pero para ello deben usar 4 dígitos diferentes. Luego vuelvan a repetir el ejercicio pero haciendo que una de las fracciones sea el doble de la otra.
(Tomado de "Un problema para cada día", Matemática NB2, Cuarto Basico)
Respuesta: en la semana ....
Primer problema:
uno sabe que 1/2 + 1/2 = 1
Luego, la segunda de estas fracciones uno la puede disfrazar si la amplifica por cualquier número:
1/2 + (3x1)/(3x2) = 1/2 + 3/6 = 1
Segundo problema:
Pensemos el problema con herramientas de la Enseñanza Media:
Tomemos un fracción genérica p/q
Entonces, la condición nos impone:
p/q + 2(p/q) = 1
3(p/q) = 1
3p=q
y aquí le podemos dar un valor a p y luego obtener q.
Sea p = 1
Luego q=3
Entonces:
1/3 + 2(1/3) = 1/3 + 2/3 = 1
pero puede haber infinitos pares, variando el valor de p.

martes, 27 de enero de 2009

Enfoque Abierto - Un enfoque pedagógico japonés .....

Desde la década inagurada en 1940 se enfatizaba en Japoón, la resolución de problemas con final abierto ... Hoy se dintinguen los conecptos de:

Procesos abiertos - varias maneras de resolución.
Finales abiertos - varias respuestas para un problema.
Problemas abiertos - que cambian y se desarrollan desde un problema dado.

Estos tres conceptos se aunan en lo que hoy se conoce como ENFOQUE ABIERTO ....

Noticia Relacionada:

23/10/2007

Profesor japonés presenta revolucionario método de enseñanza en la Universidad de Antofagasta

Universidad de Antofagasta: El profesor Yasuhiro Hosomizu "entretuvo" a una concurrida audiencia de estudiantes en la Casa de Estudios nortina.
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La charla permitió dar un nuevo enfoque a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
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Muy entretenidos y participativos se mostraron los alumnos de 4° y 7° básico del Liceo Andrés Sabella, durante las clases abiertas que impartió el profesor japonés Yasuhiro Hosomizu, titular de la Escuela Anexa de la Universidad de Tsukuba, Japón, quien demostró su innovadora metodología de enseñanza de las Matemáticas en la
Universidad de Antofagasta.
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El docente nipón resaltó que no existen grandes diferencias entre los estudiantes chilenos y japoneses, y destacó la participación tanto de los alumnos como los profesores que asistieron. Luego de las clases abiertas, el profesor junto a los docentes del Departamento de Educación de la UA mantuvieron una reunión entorno al modelo japonés de enseñanza de las Matemáticas.
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Metodología
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Hosomizu destacó el papel del profesor durante las clases de Matemáticas, “quien debe pensar cuál es la mejor forma en que sus alumnos puedan adquirir conocimiento, ya que la mayoría de los docentes no los motiva, por lo cual ellos no muestran interés por aprender”.
En cuanto a la metodología, enfatizó que es importante incentivar a los alumnos a la experimentación, aunque se equivoquen, lo que no sólo los prepara para enfrentar dificultades en el campo de las Matemáticas, sino que extrapolar esta postura a diferentes instancias de la vida cotidiana del alumno, “a través del error se puede aprender, por lo cual se debe motivar al estudiante para seguir intentándolo”, explicó.
El docente japonés también destacó las bondades de esta metodología interactiva “mis alumnos en Japón pueden pensar más rápido que los maestros y disfrutan de la Matemáticas”, dijo Hosomizu.
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Diferencias
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El académico del Departamento de Educación de la UA, doctor Luis Manríquez, comentó las diferencias existentes entre la metodología nacional y japonesa, argumentando que muchas de ellas se deben a nuestra cultura. “Ellos son capaces de trabajar con 40 alumnos sin tecnología, tienen un maravilloso uso de la pizarra, promueven el pensamiento lógico matemático desde 1° básico y utilizan muy bien el error de los alumnos. En Chile sancionamos los errores, mientras que ellos trabajan en base a eso. Jamás dan la respuesta al problema, sino que son los estudiantes quienes deben responder. Es por ello que pueden trabajar un solo problema durante toda una clase, sacándole el máximo de partido”, explicó el investigador.
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Acuerdo Internacional
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Esta actividad fue organizada por la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA) y es parte de un convenio firmado en la APEC, instancia donde el Ministerio de Educación Chileno solicitó al Gobierno de Japón un proyecto de mejoramiento de la Educación Matemática, lo que se está llevando a cabo a través de postítulos que realiza el Ministerio y que ejecutan las universidades chilenas.“Es muy importante la participación de los profesionales de las Casas de Estudio y del Ministerio de Educación para conocer la metodología japonesa. Este proyecto dura hasta el próximo año, por lo que en febrero un docente local realizarà su pasantía en Japón”, comentó la coordinadora del Programa de Cooperación Técnica, Masumi Harada.

Noticia - El Mercurio

Comentario del El Mercurio:

En promedio, contestan de manera correcta apenas 5,7 preguntas de las 70 que tiene esta prueba de selección: Alumnos municipales responden bien sólo el 8% de las preguntas de Matemática de la PSU En el mismo examen de admisión, los estudiantes de colegios privados logran un rendimiento siete veces mayor al de liceos.

M. GRACIA DALGALARRANDO

La última Prueba de Selección Universitaria (PSU) fue históricamente la peor para los alumnos de colegios municipales.En el proceso de admisión 2009, los liceos públicos obtuvieron la mayor diferencia en puntajes promedio respecto de los colegios pagados: 150 puntos de distancia. Pero, además, batieron un récord al llegar al nivel más bajo de respuestas correctas de la "era PSU".En la prueba de Matemática, los alumnos municipales obtuvieron 5,7 respuestas correctas del total de 70 preguntas; esto es, sólo contestaron bien el 8%.

Según la información que publicó el Demre de la Universidad de Chile, que administra la prueba, ésa es la cantidad de respuestas correctas que obtuvo el promedio de los alumnos municipales, que logró como promedio 457 puntos en la prueba.Desde que comenzó la PSU, los alumnos de liceos públicos han ido empeorando su rendimiento. Para la admisión 2004, los estudiantes acertaron a un promedio de 12,7 preguntas en Matemática. En 2007, la cifra cayó a 8,1 y la última vez tuvieron sólo 5,7 (ver infografía).Una de las razones que esgrimen los expertos para explicar la caída es que la PSU en 2004 todavía no había incorporado el 100% de los contenidos que mide el test. Como ahora sí lo hace, habría aumentado su dificultad."La primera PSU que se tomó fue muy fácil y con el paso del tiempo se ha ido haciendo cada vez más difícil. En 2008, la Universidad de Chile hizo una prueba bastante más compleja porque a los examinadores les pareció que había demasiados puntajes nacionales. Por eso bajan la cantidad de respuestas correctas", analizó Teodoro Herrera, quien prepara estudiantes para la PSU.

En cambio, los alumnos de colegios pagados han ido mejorando su desempeño. En la primera versión de la prueba promediaron 38,9 preguntas buenas en Matemática. En 2009, esa cifra aumentó a 40,4.Según estos resultados, los alumnos de colegios pagados sacaron una cantidad de respuestas correctas siete veces mayor a la de los liceos municipales."Los colegios privados están mejor preparados para rendir estas pruebas intensivas en conocimientos. Les pasan la materia y tienen más profesores de Matemática", dijo Harald Beyer, coordinador académico del Centro de Estudios Públicos, quien señala que la competencia por ser el mejor colegio ha ayudado a que mejoren su rendimiento.

"La PSU ha incorporado más contenidos y como en los liceos no se pasan todos, la prueba revela esa realidad".
HARALD BEYER
Coordinador CEP

"La prueba de Matemática no está bien calibrada para el nivel de habilidades de quienes la rinden".
MÓNICA SILVA
Académica de la UC

lunes, 26 de enero de 2009

Presentando la Serie Alterados por Pi (Adrián Paenza, Argentina)

Me complazgo y enorgullezco en presentar la Serie Argentina "Alterados x Pi", conducida por el Matemático argentino Adrián Paenza.

Esta serie, cada uno de sus capítulos y sus partes, fueron tomados íntegramente del espacio de Youtube (Subidos por Sebastián Molina). Agradezco la posibilidad de hacerlo a este espacio y al equipo argentino que la diseñó.

Cada uno de los capítulos y sub-capítulos tienen un tiempo bastante bueno en términos de extensión y sobretodo provocan curiosidad, asombro y deleite por las matemáticas.

Muchos temas arduos son presentados de manera entendible sin escapar de la complejidad de los conceptos.


"Con anécdotas, entrevistados, humor y resolución de problemas, Adrián Paenza nos acerca historias que tienen a la Matemática como protagonista. Alterados por Pi ofrece un panorama distinto sobre esta disciplina, más humano, divertido y cercano a la vida cotidiana" (de www.encuentro.gov.ar).

Comenta el Blogger: Lo que me gusta de Paenza es que en alguno de sus libros ha llamado "dictadura" a los gobiernos autoritarios y represivos de la argentina. Llama a cada cosa por su nombre. Comparto esta capacidad de crítica social presente en poco científicos. De hecho en esta misma serie muestra situaciones trágico-cómicas como la prohibición de enseñar Teoría de Conjuntos, por parte de la dictadura argentina, por considerarla subversiva !!!!
Esto me recuerda que en Chile se habrían quemado, en los abores del 73, libros con títulos como: "La revolución de los átonos" u otros sobre "cubismo" .... PLOP !!!!

Alterados x Pi 1/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 1/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 1/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 2/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 2/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 2/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 3/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 3/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 3/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 4/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 4/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 4/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 5/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 5/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 5/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 6/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 6/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 6/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 7/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 7/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 7/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 8/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 8/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 8/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 9/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 9/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 9/13 (Tercera Parte)

Alterados x Pi 10/13 (Primera Parte)

Alterados x Pi 10/13 (Segunda Parte)

Alterados x Pi 10/13 (Tercera Parte)

Alterados por Pi 11/13 (Primera Parte)

Alterados por Pi 11/13 (Segunda Parte)

Alterados por Pi 11/13 (Tercera Parte)

Alterados por Pi 12/13 (Primera Parte)

Alterados por Pi 12/13 (Segunda Parte)

Alterados por Pi 12/13 (Tercera Parte)

viernes, 23 de enero de 2009

Con sólo compás .... Un problema clásico de construcción geométrica

(Desafío para el fin de semana)

Se trata de encontrar un punto D, tal que la recta CD sea paralela a la recta AB; pero para encontrar el punto D dispones únicamente de un compás. (Tomado de DivulgaMat).


MI solución:

Me ayudo de los puntos A y B, que feron dados en el prblema.
-
Pienso: ¿Cómo queda determinado C, usando A y B?
-
Determinación de C:

Con centro en A, y radio AC, dibujo un arco por C.
(un amrco menor según los puntos en la figura)

Con centro en B, y radio MC, dibujo un arco por C.
(un arco mayor según los puntos en la figura)

-

Usando estas dos medidas radiales,
Con centro en A y arco mayor marco una circunferencia.

Con centro en B y arco menor marc otra circunferencia.

En uno de los puntos de corte está "D".

Resolviendo un problema de olimpiada ..... (Tomado de Edumate, Perú - la resolución es personal)

¿ Cómo pensó el Blogger este problema ?

Así se planteaba en Edumate, Perú:

¿Te atreves a resolverlos? Problemas con motivo de la IMO2008
Esta serie de problemas, que serán siete, han sido planteados por el diario ELPAIS durante el desarrollo de la IMO2008. La dificultad de cada uno de ellos no es demasiado. Así que intenta resolverlos y compártelos con tus amigos.

PROBLEMA - ENUNCIADO:

Divide el cuadrado en cuatro partes iguales en forma y tamaño, de tal forma que cada parte contenga un punto azul y un punto rojo, aunque no necesariamente en las mismas posiciones.

1) Primero estuve jugando, para familiarizarme con el problema. Usé divisiones al azar, que no cumplían los requisitos .... un ejemplo:

2) Como el enunciado no faculta para que se pueda hacer esto, comencé a razonar .....

No se pueden dejar casilleros no incluidos. Pensemos en que un casillero quedase no incluido.

Quedarían 15 para ser repartidos entre 4 divisiones. En caso de no incluir 2, debería dividir los 14 restantes en cuatro figuras ....

3) Por tanto si son cuatro particiones y hay 16 cuadrados, cada una de ellas (las particiones) debe incluir 4 cuadrados.

4) Las únicas posibilidades de particionar son:

Estas son las únicas formas de particinar el cuadro mayor, en cuatro figuras con las características pedidas. Obviamente hay algunas que se pueden modificar un poco por rotación de las anteriores dibujadas, pero en esencia son iguales.

5) Por qué no sirven algunas de ellas y sólo sirve una de ellas !!!!! Veamos la configuración "4 cuadrados en línea":

6) Veamos la configuración: "Cuadrado de 4 cuadrados"
7) Veamos esta otra partición:7) Bueno, nos queda sólo un estilo de partición y la ventaja de saber que es el correcto .... luego de pensarlo un rato y probar las variadas posibilidades, doy con el resultado:

jueves, 22 de enero de 2009

William Blake

"Ver un mundo en un grano de arena,
y un cielo en una flor silvestre,
albergar el infinito en la palma de tu mano,
y la eternidad en una hora."
William Blake
(Colabora Manoli)


Un resultado IMPRESIONANTE, NO intuitivo - Cojeturas y Prueba de Conjetura

ESTO es MUY Entretenido .....
(no se rían de lo que amo!)

En la red,
hay un video que no se puede traer al BLOG
Se encuentra en: (ya viene ....porque no lo puedo volver a encontrar!)
de Adrian Paenza (el argentimo), muy entretenido!
y que provoca ASOMBRO porque lo que expone se aleja de lo intuitivo ....

Imaginemos que tenemos una naranja y envolvemos una cuerda roja, en su circunferencia mayor, en el ecuador de la misma .... tal como se muestra en la figura .....



Luego tomamos una cuerda azul, de exactamente un metro (1 m) de longitud y la añadimos (si perder en el añadidio) a la cueda roja .... veamos como en la figura, además, la nueva cuerda (la roja más la azul) la ponemos en rededor de la naranja, a la altura de su circunferencia mayor .....

Pero hagámos el mismo ejercicio usando un neumático de auto .... usando la misma idea ....
¡ OHHHHHH !

sucede lo mismo, nuevamente la distancia es de 15 cm. ......

OHHHHHH !!!!!!

¿ Se atreve Ud. a buscar otro elemento circular, anadiendo un metro de cuerda ?

YO le aseguro que le dará lo mismo !!!!!

¿ y qué pasaría si lo hiciésemos con la tierra ?

pasa EXACTAMENTE los mismo !!!! Aunque NO lo crean o no les resulte intuitivo !!!!

Podríamos conjeturar ... que siempre esto SUCEDE, si realizamos la operación bajo la misma óptica y SIEMPRE obtendremos que esa curiosa distancia es de 15 cm. ....

Pero, qué es conjeturar? Veamos el diccionario:

Conjeturar: Creer en algo por conjeturas. Calcular, suponer, pronosticar.

Conjetura: Juicio que se forma por señales o indicios. Hipótesis.

-

Veamos en WIKIPEDIA: Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la Matemática, el concepto de conjetura se refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha. Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.

-

Demostremos matemáticamente que esto es verdad independientemente del radio de la circunferencia que se utilice ..... (probemos nuestra conjetura)


En realidad la distancia precisa es casi 16 cm!

==============================

Usemos los datos verdaderos de la tierra:

Usemos el radio de la tierra para ver si esto es verdad:

Radio de la Tierra, r: 12.742 km (Diámetro promedio según Wikipedia)

Perímetro de la tierra,: 2 x Pi x 12.742 km = 80060,34718 km.

Sumemos un metro = 80060,34718 km + 0,001 km (1 km = 1000 metros)

Perímetro de la Nueva circunferencia = 80060,34818

El radio 'R' de esta nueva circunferencia es: 2 x Pi x R = 80060,34818

R = 12742,00016

Luego restamos los radios: R - r =12742,00016-12742=0,00016 km

0,00016 km = 0,16 m = 16 cm (semejante a 15,9 cm)

==============

Currículum Chileno:

NEM: Tercero Medio
Eje Temático: I. Algebra y Funciones.
CMO: 2. Funciones. b. Comentario sobre el Teorema de Fermat.
En este punto aparece lo quees una Conjetura, la cual tras demostrarla, se convierte en un teorema.

-

Y ojo que tras esto, si sobran unos minutillos, uno puede hablar del planeta tierra. Hay tanto que un matemático puede decir del planeta tierra .... piense en las guerras actuales, en el colapso de los ecosistemas .... incluso invocar a William Blake para hacer un (poético) llamado a nuestra humildad !!!!

miércoles, 21 de enero de 2009

Pistas para entender qué son las matemáticas y su andamiaje axiomático ....

Las siguientes líneas, escritas por Einstein en su ponencia "Geometrie und Erfhrung", se han hecho clásicas:


En tanto los teoremas matemáticos se refieren a la realidad, no son ciertos y en tanto son ciertos, no se refieren a la realidad [...]


El progreso vinculado al método axiomático consiste en una separa­ción clara entre la forma lógica y los contenidos reales e intuitivos


[...] Los axiomas son creaciones voluntarias de la mente [...]


A esta interpretación de la geometría le confiero gran importancia porque de no haber estado familiarizado con ella, nunca hubiera desarrollado la teoría de la relatividad.

la genialidad de Descartes ....

Un paso importante hacia la generalización de la geometría helénica fue dado por René Descartes hacia 1637, cuando aplicó los métodos del álgebra a la geometría, no sólo en el uso del álgebra para manipular las dimensiones de las figuras geométricas, sino también para representar un punto como una pareja de números y expresar a las líneas y a ciertas curvas generales por ecuaciones, transformando así problemas geométricos en algebraicos y viceversa.

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La noción de que cualquier punto, por ejemplo, puede ser indicado por su latitud, longitus y altitud, data de tiempos Arquímides y Apolonio de Perga desde el siglo III a.c. y áun cuando Claudio Ptolomeo explota la idea más de 400 años después (con dines tanto cartográficos como astronómicos), son los franceses Descartes y Fermat quienes en el siglo XVII desarrollaron esta noción sistemáticamente.

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(Este potente extracto, brevísimo y claro fue tomado de "Las matemáticas perejil de todas las salsas", de Berlanga, Bosch y Rivaud, Fondo de Cultura Económica, edición 2008)

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Currículum Chileno:

NEM: Segundo Medio

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: 2. Funciones. b. Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII, Aportes de René Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.

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NOTA:

Pero .... ¡Y Cuál es la limitación Cartesiana?

El RACIONALISMO CARTESIANO planteó que el “observador” es objetivo y que se puede disociar de la naturaleza o cuestión observada. Este elemento desgraciadamente sentó las bases para la destrucción de la naturaleza.

Hoy en día, el ideal clásico de una descripción objetiva de la naturaleza –o partición cartesiana- YA NO ES VALIDO. En la física moderna ya no es posible separar lo observado del observador.

SILENCIO ..... una niña hizo callar al mundo por algunos minutos .....

Papiro Egipcio - Aproximación racional de Pí

El papiro egipcio del escribano AHNES (ca. 1550 a.c.) era algo así como un manual práctico que incluyó una cuantas ecuaciones lineales, entre otras las del tipo: x + (1/7)x = 19.

¿Cómo se resuelve hoy?
x+(1/7)x=19 (multiplicamos la ecuación por 7)
7x+x=133
8x=133
x=133/8

En geometría, el papiro resuelve el problema de cómo obtener el área de un triángulo isósceles.
¿Cómo lo resolvemos nosotros?

Sorprendentemente, para obtener el área de un círculo de diámtero "d" ofrece una regla que, expresada en símbolos modernos sería:

Problema: ¿Qué aproximación de Pí supone esta fórmula?

martes, 20 de enero de 2009

Amor y Matemáticas .... IMPRESIONANTE Modelamiento Matemático (Crees en esto?) Tomado de Sector Matemático


La búsqueda de una relación Matemática - Amor no es sólo de nuestro tiempo. Ya en el año 1907 el artículo de Paul Diffloth "Ensayos sobre la matemática del amor" daba a conocer una fórmula para la duración de un amor y una determinada clasificación de él.
Mauricio Wiesenthal nos ha recuperado, en su delicioso libro Galería de la estupidez, el artículo de Paul Diffloth Ensayos sobre la matemática del amor (1907), que decididamente nos interesa. Dice el matemático-sociólogo:

La duración de un amor depende de la importancia relativa de los dominantes: corazón, sentidos, espíritu. Cuanto más sensual es un amor, tanto menos dura. Los amores de cabeza son vanos y fugitivos. Sólo el corazón es prenda de fidelidad. Esta ley puede representarse por la fórmula siguiente:

Siendo D la duración del amor, k2 una constante positiva, C, S, E, las proporciones respectivas de Corazón, Sensualidad y Espíritu, que entran en la constitución de este amor.

Basta reemplazar ahora las letras por sus valores correspondientes a cada una de las
modalidades del amor. Aplicando la fórmula obtenemos la duración de cada una de estas
pasiones:

Amor vanidoso (E = 70; C = 10, S = 20): D = k2/140
Amor flirt (E = 65, C = 0, S = 35): D = 0
Amor platónico (E = 30, C = 70, S = 0): D = µ

Los amores, según su duración, podrían pues clasificarse así:

· Amor verdadero: infinito
· Amor platónico: infinito
· Amor pasión: 5k2
· Amor romántico: k2/4
· Amistad amorosa: k2/50
· Amor vanidoso: k2/140
· Amor flirt: 0


…Los resultados obtenidos matemáticamente concuerdan además a la perfección con los datos
obtenidos gracias a los métodos psicológicos.
(Remitido por Josep M. Albaigès)

Humor gráfico matemático 1


Tomados de Divulgamat, y sin permiso del autor!

Humor gráfico matemático 2


Desafío ....

Los 9 puntos de la figura son los vértices de un retículo. ¿Cuál es el mayor número de triángulos que NO sean rectángulos y no sean iguales entre si, que tienen sus vértivces en estos puntos?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Primero es necesario decir que:
Respuesta:

Creo no son posibles más que cuatro triángulos .... que no sean rectos y diferentes !!!!!

lunes, 19 de enero de 2009

Hola !!!!

ya estoy de vuelta, un abrazo, Claudio .....

martes, 13 de enero de 2009

Uno de olimpiadas .... encontrar sin calcular DIRECTAMENTE

El producto de los números naturales del 1 al 11 =
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11
(conocido también como 11 facorial = 11 !)
es:
399z6800
¿Cuál es el valor de z?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 5
e) 9
-
la idea es econtrar el valor de z, tratando de NO realizar la multiplicación TOTAL
-
Respuesta del Blogger: NO es la mejor respuesta, pero en algo puede ayudar a pensar:
-
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 = 399z6800
si juntamos 2 x 5 x 10 = 100
y simplificamos:
3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 = 399z68
Ojo que ahora tenemos que buscar la cifra de las centenas ....
(porque ahora z está en la tercera posición, la de las centenas)
Agrupemos (3 x 4 x 6 x 7) y (8 x 9 x 11)
nos quedan
504 x 792 = 399z68
(el 504 es un buen número porque tiene cero decenas)
La multiplicación anterior la podemos expresar como:
(500 + 4) x (700 + 90 + 2)
En estas 6 (2x3) multiplicaciones, No provocan cifra en las centenas:
500 x 700 (porque es 350000)
500 x 90 (porque es 45000)
500 x 2 (porque es 1000)
4 x 2 (porque es 008=8)
En las anteriores 6 multiplicaciones si provovan cifra en la centena:
4 x 700 = 2800
4 x 90 = 360
2800+360=3160
y 8 + 3 = 11, por tanto z = 1
veamos con una calculadora:
3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 x 11 = 399168
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 = 39916800

Los Simpson y Fermat

Cálculos TRUCHOS en los SIMPSON

(Tomado de www.tomdukich.com)

En 1995 se emite el capítulo de Los Simpsons en el que Homero salta a otra dimensión y, a través de una puerta, aparece en el mundo humano.

Mientras Homero está en ese mundo entre lo animado y lo humano aparece en imagen lo siguiente:

Homero en primer plano y una igualdad a su espalda:

1782^12 + 1841^12 = 1922^12

Algo sin demasiada importancia. Una igualdad como otra cualquiera, pero ¿será cierta?. Agarrá una calculadora común, una científica y hacé la prueba.

1782^12 + 1841^12 = 2.541210259 · 10^39
1922^12 = 2.541210259 · 10^39

Vemos que la igualdad es correcta.

Ahora: El último Teorema de Fermat (matemático francés contemporáneo a Descartes) dice: "Cuando n es un entero mayor que 2, no existen enteros x, y y z distintos de cero tales que

x^n + y^n = z^n".

Esa igualdad es además imposible porque en su primer miembro aparecen potencias de un número par y de un número impar que siempre son, respectivamente, números par e impar, y en el segundo miembro aparece la potencia de un número par, que a su vez es par. Y es sabido que la suma de un par y un impar no pude ser par. Incógnita resuelta, la igualdad no es cierta y su inclusión en ese capítulo es simplemente una "joda" de los creadores de la serie.

¿Por qué en una calculadora sí se cumple?.

Haciendo los cálculos con todas las cifras:
1782^12 + 1841^12 = 2.541.210.258.614.589.176.288.669.958.142.428.526.657

1922^12 = 2.541.210.259.314.801.410.819.278.649.643.651.567.616

El redondeo de la calculadora en la 10ª cifra (en negrita) se produce en el primer caso por exceso y en el segundo por defecto, dando una engañosa apariencia de igualdad.

¿Lo sabía el creador de los SIMPSON, quería jodernos?

Es tan fácil y tan importante mostrar imágenes matemáticas, miren que sencillo .....


lunes, 12 de enero de 2009

cerrado x vaca




Recomiendo este BLOG:

http://www.monsantopeligros.blogspot.com/


y OJO que hay hasta tattoos bien matemáticos .... un ejemplo:

Título de la Imagen: Tatuaje Fibonacci de la bailarina Bo
Autor: Art by Bones at Fallen Angel Tattoo, Citrus Heights, CA

viernes, 9 de enero de 2009

Una canción para el fin de semana ....

Un Chiste de fin de semana ....


Un niño grita desde su pieza: "Papá, los zancudos no me dejan dormir!"
El papá responde: "Apaga la luz y duérmete"
El niño hace caso y una vez apagada la luz, entran varias luciérnagas,
tras lo cual grita:
"Papá, ahora me andan buscando con linternas!"

Dos de Olimpiadas .... para el fin de semana ....

Para jóvenes de Enseñanza Media:

A) 2006
B) 48
C) 36
D) 10
E) 4
Respuesta, en la semana ....

Y, Para niños y niñas de 8avo básico:



jueves, 8 de enero de 2009

¿En qué nos diferenciamos los chilenos de los japoneses respecto de la enseñanza de las matemáticas?

En la foto se ve una clase que está siendo observada por muchos maestros ....
Esto es común en Japón y nadie se molesta .... o al menos nadie se molesta mucho.
Esto no sucede en Chile.

Si, estoy de acuerdo que evaluar profesores y de paso sumirlos en temor, no abriendo expectativas reales para superar deficiencias es un mal camino ... La evaluación/castigo es algo que se aleja del objetivo que todos debiésemos perseguir: una educación de calidad para todos y todas, para enoblecer y dignificar nuestra sociedad .... para transformarla en una mejor.

También comparto que la cuenta quizás, la debiesen asumir las universidades que han titulado a maestros pregonando haberlos preparado idóneamente. Porque podría ser muy trágico haber pagado una carrera (de varios millones) tras lo cual una evaluación te mostrase que no posees las competencias requeridas. Aclarado que creo en la evalución como proceso colectivo liberador, propongo

Mirar el suceso Japón.
Para RE-orientar la óptica con la que se observan/evalúan las clases.
ES Impresionante. ES APASIONANTE!
Ellos diseñan en colectivo una clase modelo, de una temática X.
Cada profe la presenta a todos sus pares, en privado y recibe las sugerencias de mejora.
La clase se aplica, pero todos los pares van a verla nuevamente. Nadie se inmuta más de la cuenta, a veces hay más de 100 profesores observadores en un aula.
Todos entregan comentarios para enriquecer ....

Nos falta mucho ....

recomiendo el libro:

El Estudio de Clases Japonés en Matemáticas consiste en estrategias colaborativas realizadas por los profesores con el objetivo de mejorar a la vez su conocimiento de contenidos y metodologías y los aprendizajes de los alumnos.

Esta modalidad está en la base de los excelentes resultados obtenidos por Japón en los estudios comparativos internacionales tales como el TIMSS, y ha atraído la atención del mundo entero, de modo que países de los cinco continentes están intentando adecuar el Estudio de Clases a sus propias realidades educacionales.

Este libro explica qué es el Estudio de Clases y cómo permite articular los esfuerzos realizados por los encargados gubernamentales de educación, las universidades que forman profesores y los profesores en sus aulas, de manera que cada actor pueda contribuir a la investigación y el desarrollo educacional de su país y de sus personas.

miércoles, 7 de enero de 2009

Maravilloso .... el límite en el cual valen o no la leyes cuánticas ..... El Gato de Schrodinger

El Blogger pide DISCULPAS PUBLICAS



Durante la existencia de este BLOG, he utilizado la bella creación del o la Blogger que acuna sus trabajos en: http://deuntrazo.blogspot.com/.

Recibí 5 mensajes suyos en el posteo en que utilicé su creación sin poner los créditos. Esta es una falta grave, desgraciadamente ya hace más de medio año que los comentarios no me llegan a mi mail asociado al blog y no sé por qué.

PIDO DISCULPAS PÚBLICAS al (la) creador(a) de http://deuntrazo.blogspot.com/, por no haber citado devidamente el hecho de que la figura usada y compuesta al interior de otras gráficas es suya.

Mis datos, por si quiero seguir con sus acciones legales son:

Claudio Escobar Cáceres
C.I. 9.161.560-6
Chile

En este blog, he puesto varias creaciones personales. Mucho menos bellas y más fomes que el cronopio de arriba. Sin embargo, quien quiera usarlas, cuenta con mi aprobación y si desea obviar la cita a mi autoría no hay problemas, lo que a mi me importa en que las matemáticas se difundan. Sin embargo, NO puedo exigir esta visión a otros(as) creadores(as).

Me gustaría conocer más del creador o creadora de la dirección señalada.

Comentario final: navegamos hacia la incertidumbre ....

"Gloria .... ¡Nada!" (Drexler)

Mapas de Progreso


(Dibujo de Hervi, de una invitación a ver una exposición de COMICs)
ya viene .....

Los Mapas de Progreso son:

Son descripciones del recorrido habitual que sigue la progresión del aprendizaje en los distintos niveles del sistema educacional.

Invitamos a visitar: http://www.curriculum-mineduc.cl/curriculum/mapas-de-progreso/

Para el caso de la propuesta del MINEDUC:


El Mapa de Progreso cuenta con 7 niveles en los que muestra el recorrido de aprendizaje de los estudiantes entre el 1° básico y 4° medio. Además cada mapa cuenta con "ejemplos de desempeño", que ayudan a reconocer formas en que se puede observar que el aprendizaje de un o una estudiante se encuentra en un determiando nivel. Po último, usted podrá ver el trabajo real de un estudiante que se encuentra en cada nivel del Mapa.

Los Mapas de Progreso describen la secuencia en que comúnmente progresa el aprendizaje en determinadas áreas o competencias clave, considerados como fundamentales en la formación de los estudiantes. Así, ofrecen un marco de referencia para observar el aprendizaje promovido por el currículum a los largo de los 12 años de escolaridad. Cada Mapa contiene 7 niveles de aprendizaje, que además muestran ejemplos de trabajos de alumnos que ilustran dicho nivel.

Tomado del MINEDUC