"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

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"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

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Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

sábado, 29 de noviembre de 2008

¿Por qué el número 13 es de mala suerte?

Como bien sabemos, el número 13 está considerado en las so­ciedades occidentales como el número de la mala suerte.

La superstición en torno a este número no es algo fruto de los tiempos modernos, debemos remontarnos muchos siglos atrás para comprender estos miedos. De hecho, se debe a que en la Ultima Cena se sentaron los doce apóstoles más Jesucristo, y este murió. Por eso la tradición primitiva cristiana considera que nunca se han de sentar trece personas en una comida o cena, pues existiría el riesgo de que alguna muera antes de terminar el año.

Si continuamos con las tradiciones religiosas, vemos que el ca­pítulo decimotercero del Apocalipsis está dedicado al Anticristo.

De todas formas, no es solo de la religión cristiana, los hindúes ya veían el 13 como un número maldito, el Código de Hammurabi, por ejemplo, lo omite.

Mientras que para nosotros el martes y 13 es el día de la mala suerte, para los anglosajones se mantiene el número 13 pero es el viernes. Sin embargo, para los japoneses el viernes, y si encima es 13, es el día propicio para tener todo tipo de suertes. Como vemos, todo depende de las interpretaciones. Por cierto, cuando alguien tiene miedo al número 13 se dice que padece triscadecafobia.

(Alberto Coto, Entrenamiento Mental)

viernes, 28 de noviembre de 2008

Comentario de libro: "Un matemático lee el periódico"

Recomiendo !!!!!

Reseña Breve:

José Luis Calvo

Afortunadamente, Círculo de Lectores ha tenido a bien rescatar un título de divulgación que estaba agotado desde que lo publicara Tusquets S.A en 1.996. El tiempo transcurrido no ha hecho la menor mella en su contenido, al contrario, la situación que denunciaba el autor, el desconocimiento de conceptos matemáticos básicos en la prensa escrita (y cualquier otra) sigue vigente.
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Paulos, conocido divulgador de esta materia en otros de sus libros como El hombre anumérico. El analfabetismo matemático y sus consecuencias (1.989) y Érase una vez un número (1.998), opta en esta ocasión por dividir su libro en las secciones que conforman un diario. Así, encontramos algunas dedicadas a “Política, economía y sociedad”, “Asuntos locales, empresariales y sociales”, “Estilo de vida, confusión y noticias light”, “Ciencia, medicina y medio ambiente” y, por supuesto, “Alimentación, libros, deportes y necrológicas”. En cada uno de ellos, engloba noticias y titulares periodísticos a los que añade sus comentarios al respecto, sin otro hilo conductor que la temática original de la noticia. Por ello, es posible (y así lo advierte el autor en su introducción) una lectura aleatoria.
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Ningún capítulo es imprescindible para leer los siguientes y los comentarios son autónomos. Ambas características hacen posible una lectura parcial o separada temporalmente sin ningún problema de comprensión.Por otra parte, como todo título de divulgación que se precie, es perfectamente accesible a cualquier público sin necesidad de ingentes conocimientos matemáticos previos.
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Unamos a ello el que Paulos hace gala de un estimable sentido del humor, algo que no está reñido con las matemáticas como ya demostró en su primera obra Mathematics and Humor (1.980), y tendremos una obra más que estimable sin que sea preciso ni siquiera el deseo de querer saber más sobre este tema para poder disfrutar con su lectura.El contenido de las “meteduras de pata” periodísticas es muy variado, pero abundan los relacionados con los porcentajes, lo que implican y cómo se pueden manipular.
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Veamos un ejemplo sobre los teléfonos móviles: “Desde un punto de vista muy particular, los ‘datos’ sugerían un defectuoso argumento matemático que parecía poner de manifiesto que estos aparatos lo que hacen realmente es inhibir la formación de tumores cerebrales. [...] ... había 10 millones de usuarios de teléfonos móviles en este país y que el índice de incidencia del cáncer cerebral entre todos los estadounidenses era de 6 casos anuales por cada 100.000 ciudadanos; multiplicando 10 millones por 6/100.000 averiguamos que entre los usuarios de estos teléfonos había que esperar alrededor de 600 casos de tumor cerebral todos los años; puesto que las pruebas de que haya una relación entre el cáncer y los teléfonos móviles se basan sólo en un puñado de personas que ni siquiera da para 600 casos anuales, la conclusión es que los teléfonos móviles impiden ciertamente los tumores cerebrales. Absurdo, sin lugar a dudas, pero no más (en realidad menos) que la histeria del principio” .Otro de los grandes temas es los errores en la realización e interpretación de estadísticas y de gráficos.
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El sacar conclusiones cuando el muestreo es tan reducido que no es representativo porque cuanto menor sea éste es más fácil que se produzcan coincidencias insignificantes, es uno de los más frecuentes. Veamos uno de los más útiles para un escéptico: “Uno de los ejemplos que publicó en The Skeptical Inquirer se refería a otros dos presidentes muertos en atentado, William McKinley y James Gardfield.Resulta que los dos eran republicanos, y que nacieron y se criaron en Ohio. Los dos fueron veteranos de la guerra de Secesión y los dos ocuparon un escaño en el Congreso. Ambos defendieron con tesón los aranceles protectores y el patrón oro, y tenían ocho letras en el apellido. Al morir les sustituyeron los respectivos vicepresidentes, Theodore Roosevelt y Chester Alan Arthur que eran de Nueva York, tenían bigote y diecisiete letras en el nombre. Los dos murieron durante el primer mes de septiembre de sus respectivos mandatos, a manos de Charles Guiteau y Leon Czolgosz, los dos con apellidos que parecía extranjero. Pero como no son estrellas de primera magnitud en la historia de Estados Unidos, McKinley y Garfield no producen la misma fascinación que Lincoln y Kennedy”.
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Tampoco faltan las equivocaciones en aspectos elementales de las matemáticas: “Engañosas o sinceras, las campañas publicitarias, por otra parte, fracasan con frecuencia, aunque pocas veces porque las empresas cometan errores y hagan afirmaciones matemáticas que les perjudican. Una empresa constructora anunciaba que el dinero que se invirtiera en ella aumentaría con los años en progresión logarítmica (es decir, a paso de tortuga, sin duda lo contrario de lo que se quería dar a entender), pero sospecho que su fracaso tuvo poco que ver con esta metedura de pata matemática.”
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En resumen, un texto escrito por un amante confeso de los diarios y de las matemáticas que no sólo se limita a estos campos. En sus comentarios afloran multitud de temas, desde las teorías conspiranoicas hasta la dificultad de predecir los comportamientos económicos, desde la teoría de juegos hasta la publicidad. Una obra de un humanista matemático o de un matemático humanista. Como reza la dedicatoria: “A los empollanúmeros de la ficción, y a los autores de ficción que empollan números.”

Interpretación de datos - Accionistas con PODER, accionistas COMPARSA

NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: a. Graficación e iterpretación de datos estadísticos provenientes de distintos contextos.

Fuente: Tomnado del Libro: "Un matemático lee el periódico" (A Matematician Reads the Newspaper), de John Allen Paulós. Editorial: TusQuets Editores. Primera Edición: 1996.

TRES ACCIONISTAS CON PODER:

"Imaginemos una pequeña empresa con tres accionistas. Supongamos que poseen, respectivamente, el 47, el 44 y el 9 por ciento de las acciones, y que basta una mayoría simple del 51 % para aprobar cualquier medida. Me parece a mi que está calro que, aunque uno de los tres accionsitas pueda conducir un todoterreno, los tres tienen el mismo poder. Y es así porque bastan sólo dos, cualesquiera, para aprobar una medida." (pag. 26)

CUATRO DIPUTADOS UNO ES COMPARSA :

(Texto editado de la página 27) Imaginemos que los diputados de Perplejistán se organizan en cuatro grupos, con 45, 44, 7 y 4 por ciento respectivamente. De los tres primeros grupos, dos cualesquiera podrán formar una colaición mayoritaria, pero el grupo menor será siempre una comparsa. Así, a pesar de que la representación del tercer grupo es muy inferior a la de los dos primeros y sólo un poco superior a la del último, tiene tanto poder como los dos primeros, mientras que el último no tiene ninguno.

Interpretación de datos estadísticos .... Votaciones en New York y otros demonios


NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: a. Graficación e iterpretación de datos estadísticos provenientes de distintos contextos.
Fuente: Tomnado del Libro: "Un matemático lee el periódico" (A Matematician Reads the Newspaper), de John Allen Paulós. Editorial: TusQuets Editores. Primera Edición: 1996.
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Votaciones en New York:

Se ha dicho hace poco que el voto de los negros en NY está más influido por criterios raciales que el de los blancos. La pruba invocada era que el 95 % de los negros dio su voto al alcalde David Dinkins (negro), mientras que sólo el 75 % de los blancos votó al candidato (ganador) Rudolph Giuliani (blanco).

Pero el razonamiento tiene un error, tal como se desprende de la siguiente información adicional:

La estimación no tiene en cuenta que muchísimos votantes negros prefieren votar a cualquier candidato demócrata. Suponiendo que el 80% de los negros vota habitualmente a los demócratas y que sólo el 50 % de los blancos vota habitualmente a los republicanos, ENTONCES puede decirse que sólo el 15 % de los negros votó a Dinkins por motivos raciales y que el 25 % de los blancos votó al republicano por motivos idénticos.

Como suele suceder en la frontera político-matemática, hay muchas otras interpretaciones.

El Blogger: Los blancos están, en este caso, influidos por criterios raciales!

miércoles, 26 de noviembre de 2008

Evolución histórica de los signos del álgebra - Evolución del Álgebra

NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: d. Comentario Histórico sobre la evolución del lenguaje algebraico.
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Este tópico ayuda a intruducir el OBJETIVO FUNDAMENTAL: "Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente" (Para el Primero medio) ....

OUGHTRED, Matemático Inglés (1574-1660) Introduce el signo de multiplicación.

RECORDE, Matemático Inglés (1510-1558) Propone el sugno de la igualdad (=), que lentamente fue aceptado.

BOMBELLI, Matemático Italiano (1522-1572) Introduce los paréntesis en los cálculos algebraicos.

HARRIOT, Matemático Inglés (1560-1620) Seguidor del trabajo de Jiéte, lo enriqueción con los signos de la desigualdad (mayor y menor).

VIÉTE, Matemático Francés (1540-1603) Comeinza a usar las letras para representar los números.

STIFEL, Matemático Alemán (1487-1567) Usa los signos (+) y (-) de adición y Sustracción.

martes, 25 de noviembre de 2008

Me pongo este sayo y me queda grande, pero estoy consciente .....

El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza?

Miguel de Guzmán.

Matemática de las Flores ..... (de la Página de Antonio Pérez)

Condicionados por la anterior frase, un poco de belleza en la naturaleza y su modelación matemática .....

Las CURVAS Botánicas .....
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En apariencia las hojas de las plantas y los pétalos de las flores están hermanados con la poesía y muy alejados de las matemáticas. Sin embargo también podemos acercarnos a los misterios del crecimiento vegetal a través de curvas y de ecuaciones, y además no demasiado complejas.
Existe una familia de curvas, investigada en el siglo XVIII, que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores que podrás encontrar esta primavera en el Jardín botánico y en tus excursiones por el campo.


Se trata de la CONCOIDE DE ROSETÓN, también conocida como PÉTALO GEOMÉTRICO o ROSETÓN DE TROYA.

Para interpretar el crecimiento de hojas y flores las coordenadas rectangulares o cartesianas no son las más apropiadas. Recurriremos a las coordenadas polares, en las que las dos variables son el ángulo girado respecto a la horizontal y la distancia al origen.

En estas coordenadas, todas las concoides de rosetón o de rosáceas, como dicen los franceses, tiene esta ecuación general:

haciéndose variar el angulo Teta entre (-Pi/n) y (Pi/n). Pi=3,1415 ...

Para el caso : a y b positivos, a mayor que b,

Usemos en este caso: a=2, b=1; n = 5

Y graficando en Coordenadas Polares, mediante el programa WINPLOT, tenemos:



Entre (-pi/5) y (Pi/5), para nuestro caso, el águlo debe variar entre -36º y 36º o en radianes entre (-0,62831853) y (0,62831853). Entre estos dos valores, se tiene todavía una función ... las otras partes de la flor vienen con la periodicidad de coseno, dada para los ángulos mayores y menores al rango del que hablamos ....

Usando EXCEL, hice una tabla y luego grafiqué las polares a mano, dando lo que vene a continuación:

Tabla de valores:

Gráfica a mano, para algunos valores de ángulos:
Nota: ¿Cómo lograr la flor entera?
Con simetrías y rotaciones !

Por ejemplo, el semi-pétalo mayor se puede hacer simétrico respecto del eje horizontal y luego rotarlo 4 veces. El pétalo menor se puede hacer simétrico respecto de la recta con ángulo 36º y luego rotarlo 4 veces. Ojo que la pendiente de la recta sería: m= tg (36º)

El timo bursátil (llamado así por Coto) o Cómo conseguir contrato con un poco de mates (llamado así por Paenza)

Cómo conseguir un contrato como consultor usando un poco de matemática:

Uno puede hacerse pasar por adivino o por una persona muy entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar en la Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la que
crecen las potencias de un número.
Éste es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tenemos una base de datos de 128.000 personas. (Por las dudas, no crean que son tantas, ya que la mayoría de las grandes empresas las tienen, las compran o las averiguan). De todas formas, para lo que quiero invitarlos a pensar, podríamos empezar con un número más chico, e igualmente el efecto sería el mismo.

Supongamos que uno elige alguna acción o algún commodity cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas, que uno elige el precio del oro. Supongamos también que ustedes se sientan frente a su computadora un domingo por la tarde. Buscan la base de datos que tienen y seleccionan las direcciones electrónicas de todas las personas que allí figuran. Entonces, a la mitad de ellas (64.000) les envían un mail diciéndoles que el precio del oro va a subir al día siguiente (lunes).

Y a la otra mitad les envían un mail diciéndoles lo contrario: que el precio del oro va a bajar. (Por razones que quedarán más claras a medida que avance con el ejemplo, excluiremos los casos en los que el oro permanece con el precio constante en la apertura y el cierre.) Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o bien subió o bien bajó. Si subió, hay 64.000 personas que habrán recibido un mail de ustedes diciéndoles que subiría.

Claro, qué importancia tendría. Haber acertado un día lo que pasaría con el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con la idea: el lunes a la noche, de las 64.000 personas que habían recibido su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría, ustedes seleccionan la mitad (32.000) y les dicen que el martes volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32.000, les envían
un mail diciéndoles que va a bajar. Llegado el martes por la noche, ustedes están seguros de que
hay 32.000 para los cuales ustedes no sólo acertaron lo del martes, sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repitan el proceso.

Al dividir por la mitad, a 16.000 les dicen que va a subir y al resto, los otros 16.000, que va a bajar. Resultado, el miércoles ustedes tienen 16.000 personas a las que les avisaron el lunes,
el martes y el miércoles lo que pasaría con el precio del oro. Y acertaron las tres veces (para este grupo).

Repítanlo una vez más. Al finalizar el jueves, ustedes tienen 8.000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la noche, tienen 4.000. Piensen bien: el viernes por la noche, ustedes tienen 4.000 personas que los vieron acertar todos los días con lo que pasaría con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro que el proceso podrían seguirlo a la semana siguiente, y podrían tener dos mil al siguiente lunes, mil a martes y, si queremos estirarlo aún más, el miércoles de la segunda semana, tendrán 500 personas a las que les fueron diciendo, día por día, durante diez días, lo que pasaría con el precio del oro.

Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contrataran como consultor pagándole, digamos, mil dólares por año (no lo quiero poner por mes, porque tengo cierto pudor aún)… ¿no creen que contratarían sus servicios? Recuerden que ustedes acertaron siempre por diez días consecutivos. Con esta idea, empezando con una base de datos o bien más grande o más chica, o parando antes en el envío de correos electrónicos, ustedes se pueden fabricar su propio grupo de personas que crean en ustedes o que crean sus predicciones. Y ganar dinero en el intento.

Para Claudita Drago, la "Paradoja de Gôdel" .....


Hablando de Gödel, desde el corazón y la simplicidad de un aprendiz de matemático que NO lo entiende todo ....
(es decir, no tengo certeza de que mi explicación te convenza o te lo aclare todo)
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Claudita, el autriaco Kurt Gödel es uno de los matématicos (especializados en lógica) que más admiro. Mi admiración es tan grande como la imposibilidad de asirlo completamente. Vislumbro claridades, pero siempre quedo con la sensación de que no lo entiendo a cabalidad.
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Alguna vez tuve en mis manos el bosquejo medular de su demostración (muy similar a la idea de Kantor para demostrar la imposibilidad de enumerar el conjunto de los números reales) y creí entenderla bien, pero otra vez, sentí que algo se me escapaba. Todo esto al punto de no poder reproducirla .... y tu sabes que no se sabe algo, cuando uno no es capaz de trasmitirlo cabalmente.
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Kurt Gödel no sólo ha sido el más brillante lógico de la historia, sino el que más descocierto ha levantado. Una cosa es segura, sus teoremas provocan aunténticas limitaciones al poderío de la matemática y es quizás por ello que tú me has provocado ....
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Con todo, hay ribetes de su vida que recuerdo por la simpatía que me han provocado. Antes de "explicar" la paradoja de Gödel, te cuento: Gödel se avencindó en USA en su vida más tardía y para ello extendió su solicitud en algun grado en torno a su ciudadanía norteamericana. Curiosamente lo acompañaba Albert Einstein, quien ya había logrado esa ciudadanía y ya gozaba del prestigio que tiene hoy. Imagínate el cuadro, medio ni que pituto !!!! lo curioso es que Gödel tenía una mente tan capaz, que había estudiado la Constitución del país y no sólo sabía mucho de ella -probablemente más que el juez- sino que la había analizado desde sus miles de aristas encontrando falencias que "podrían atentar en contra del orden de ese país" .... Cuando Kurt Gödel habría iniciado sus detallados y profundas explicaciones en torno al asunto, se vio a un Albert Einstein desesperado tratando de que NO hablara más de la cuenta, lo que podía asustar al juez presente, que revisaba si otorgar o no la petición de ciudadanía !!!! Un suceso un tanto hilarante, en torno a una mente analítica, en grado extremo!
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Eintein y Kurt Gödel fueron buenos amigos (acostumbraban a dar paseos por los espacios universitarios, hablando de sus temas científicos). Quizás se buscaron como aquellos que buscan referencias y se encuentran comprobando finalmente que no tienen a nadie a quien más recurrir, fueron como el último peldaño escalado en sus respectivas disciplinas .....
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Para mi, Kurt Gödel es lo que es Heisenberg para la Física. Tu has escuchado hablar del "Principio de Incertidumbre" (muy explicado en este BLOG). Este principio establece que "no es posible determinar con entera precisión la posición y la velocidad de un electrón a la vez". Es decir, si tengo conocida su velocidad, su posición será una certeza sólo estadística (tendremos una región de probabilidades para su posición, una relativa certeza) y viceversa: si conocemos su posición, tendremos una relativa certeza de su velocidad. Para que decir más, una bofetada a la precisión (objetividad) buscada en la física con tanto afán, una humildad impresionante exigida desde el mundo cuántico. (Fíjate que algunos físicos creyentes han dicho que sólo Dios sabe la posición y la velocidad, a la vez, de cada partícula).
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Bueno, pero qué dice este Principio o Paradoja de Gödel:
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Gödel mostró en cierto modo las limitaciones de las matemáticas: estas NO pueden demostrarlo todo, en particular no pueden probar algo tan buscado por los matemáticos: su propia consistencia.
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Así lo diría un libro de difusión de la ciencia:
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"Gödel probó que si se toma un conjunto de axiomas lo suficientemente amplio -que contenga los axiomas de la aritmética como mínimo- NO es posible probar, con las amaras de la deducción del sistema, que tal conjunto sea a la vez consistente y completo. Es decir, que en caso de ser completo contendría contradicciones. Y en caso de no tener contradicciones -es decir, caso de ser consistente- habría siempre teoremas verdaderos que nunca podríamos demostrar" (Biblioteca Salvat).
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Los teoremas de Gödel (sus proposiciones paradógicas) sobre lo incompleto, publicados en 1931 cuando apenas tenía 25 años, reescribieron las directrices de la ciencia moderna, tanto como la teoría de la relatividad de Einstein lo había hecho hace 15 años antes. La aritmética elemental, según demostró Gödel, estaba incompleta y lo seguiría estando. No importa en que sistema axiomático tu bases tus cálculos, hay postulados verdaderos más allá del alcance del sistema. Añadir tales postulados al sistema como nuevos axiomas no sirve de nada. El sistema enriquecido es también incompleto, y así “la infección continúa su ascenso gradual”.
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El enunciado de su TEOREMA DE LA INCOMPLETITUD dice: Todo sistema matemático contiene proposiciones “indecibles”, es decir, que no son ni demostrables ni refutables con los axiomas contenidos en ese sistema matemático. Este teorema subraya además que NO es posible demostrar que un sistema es coherente permaneciendo en su interior ..... para lograr demostrar coherencia, hay que salir del sistema .....
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Pero Sigamos ..... hablemos casi de lo mismo con otras palabras y en su contexto histórico ....
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Hacia 1925 según el sentir del gran Hilbert (otro matemático), los matemáticos de la época estaban de acuerdo en que, para cualquier proposición bien construída del sistema matemático habría de existir o bien una demostración de ella o bien una demostración de su negación porque en matemáticas no hay ningún "ignoraremos", kein 'ignorabimus' in der Mathematik.
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La demostración rigurosa de este hecho, que parecía estar fuera de toda duda razonable, fue un objetivo principal del programa que Hilbert proponía (para el desarrollo de esta ciencia .... una especie de recetario que iba en pos de ordenar todo el entramado matemático, hasta hacerlo infalible). Con ello se llegaría a establecer claramente esa condición de árbitro supremo de la ciencia matemática.
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No habían pasado 6 años cuando en 1931 K. Gödel daba al traste de forma definitiva con el programa de Hilbert. Pese a todas las expectativas de los matemáticos del tiempo, Gödel demostró que la situación real era precisamente la contraria: En cualquier sistema matemático suficientemente potente para que en él se pueda desarrollar la aritmética de los números naturales existen proposiciones P con perfecto sentido dentro del sistema que son indecidibles, es decir P no se puede demostrar, pero tampoco no-P se puede demostrar.
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Este es el contenido del primer teorema de Gödel (1931) sobre la incompletitud de la aritmética, que probablemente pasará a la historia como uno de los resultados más importantes de pensamiento matemático, en una artículo titulado Über folmalunentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados).
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Poco después Gödel demostraría además, como resultado complementario, algo que hacía apreciar aún mejor la profundidad de su anterior teorema: Una de tales proposiciones indecidibles es precisamente la que afirma que en el sistema en cuestión no existen contradicciones.
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Es decir, construyamos el sistema matemático que construyamos, con tal tan sólo de que sea suficiente para en él se pueda desarrollar la aritmética ordinaria, no podemos demostrar dentro de él que nunca van a surgir proposiciones contradictorias, es decir no podemos estar seguros de que en él no va a resultar que P es un teorema a la vez que también no-P es un teorema, lo cual naturalmente invalidaría totalmente el sistema, ya que cualquier afirmación y su negación serían igualmente demostrables.
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Dejemos algunos textos de Wikipedia, que nos pueden ayudar a dar luces en esto:

Kurt Gödel ([kuɹtˈgøːdl]) (28 de abril, 1906 Brno (Brünn), Austria-Hungría (ahora República Checa) – 14 de enero, 1978 Princeton, New Jersey) fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.
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Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
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El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
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También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.
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El triste final de Gödel:
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En sus últimos años Gödel sufrió de períodos de inestabilidad y enfermedad mental. Tenía temores obsesivos de ser envenenado, y no comía a menos que su esposa Adele probara la comida antes que él. A finales de 1977 Adele fue hospitalizada durante seis meses y no pudo continuar probando la comida de Gödel. En su ausencia se rehusó a comer, hasta el punto de dejarse morir de hambre. Al momento de su muerte pesaba 65 libras. El certificado de defunción en el Hospital de Princeton, el 14 de enero de 1978, reporta que murió de "desnutrición e inanición causadas por perturbaciones en la personalidad".

Frases curiosas .... la matemáticas en el cotidiano ....


Matemáticas en el Fútbol

Estas frase, entre otras recopiladas por Alberto Coto, en su libro "entrenamiento mental" ....


"Mañana contra Francia no servirá jugar al 100 %, tenemos que jugar al 200 % "
(Mundial de Futbol, Alemania 2006)
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¿Qué significa esto?,
¿que el equipo contrario a Francia tendrá 22 jugadores?
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TUS Respuestas, en los comentarios !!!!!

¿Quién es Alberto Coto? (de Wikipedia)

Más abajo la receta de cómo quebrar un casino .....

Alberto Coto García (nacido el 20 de mayo de 1970, Lada, Langreo, Asturias) es una reconocida calculadora humana y actual campeón del mundo en cálculo mental.
Asesor Laboral, Fiscal y Contable de profesión, ha demostrado sus habilidades y ha aparecido en numerosos programas e informativos de televisión. En los últimos años ha llevado a cabo demostraciones y conferencias.

VER para Creer:

lunes, 24 de noviembre de 2008

¿Cómo quebrar un casino? Juego de la Ruleta

Nota-Sugenercia Didáctica: Este artículo corto puede ser muy útil a la hora de enseñanr, en el Tercero Medio, la Ley de los Grandes Números ....


Tomado del libro: Entrenamiento Mental, de Alberto Coto
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No recuerdo con exactitud la edad a la que empecé a calcular, pero fue alrededor de los cinco-seis años, y lo que sí recuerdo es que aprendí jugando a las cartas. Y es que este tipo de juegos están repletos de cálculos. La correcta toma de decisiones en cada jugada se basa en las probabilidades y en el buen manejo de los números.

Considero muy importantes los juegos de mesa para desarrollar las habilidades de cálculo e, incluso, para desarrollar otras habilidades como pueden ser la concentración o la memoria. Yo, ante las jugadas de cartas —tute, mus, brisca, escoba, etc.—, siempre juego calculando. Procuro llevar la cuenta de las cartas que han salido y de los puntos que llevo acumulados y, ante cada jugada, tomo la mejor decisión en función de los puntos que me puede reportar o de si me interesa un grado mayor o menor en el riesgo a tomar.

Jugando de igual a igual, si somos buenos calculadores y controlamos las cartas que van saliendo, tenemos muchísima ventaja y mayor probabilidad de resultar vencedores. Esto es así porque te pueden venir cartas malas y perder, pero jugando con criterio a medio o largo plazo te van a venir cartas de todo tipo.

En los juegos de casino la complicación es mucho mayor, vamos a ver cómo se podría atacar la ruleta.

Si tuviese que escoger un método para tratar de ganar dinero en la ruleta, lo haría basándome en una suposición: «No hay ruleta perfecta, físicamente hablando». Si no hay ruleta perfecta, esto implica que las ruletas son imperfectas. Y si las ruletas son imperfectas, la bola caerá más en unos casilleros que en otros.

¿Cómo determinar en cuáles?

Respuesta sencilla: Estudiando cada ruleta. Esto es, armarse de paciencia, trabajar preferiblemente en equipo para ser lo más discretos posible y tomar nota de la caída de la bola en las ruletas (esto está permitido, sin problema).

Cuantas más tiradas tomemos, pues mejor. A partir de aquí, hacemos un estudio matemático, estadístico. Si la bola cae más en unos casilleros que en otros, podremos concluir que en esa ruleta hay mayor facilidad para caer en esos lugares, con lo que nuestras apuestas se dirigirán a esos sitios concretos.

Eso sí, tenemos que contar con que en la ruleta Europea el Casino tiene un 2,7% de beneficio, con lo cual sería lógico que apostásemos cuando la imperfección superase ese 2,7% (en la ruleta americana el beneficio del casino es del 5,26%, con lo que tendríamos que encontrar ruletas quizá demasiado «imperfectas»).

Otra cuestión a tener en cuenta es que estamos hablando de una tendencia que se dará a largo plazo, con lo cual nuestro éxito, matemáticamente hablando, tendrá lugar también a largo plazo. Esto significa que habría que contar con un capital previo (estamos hablando de tendencias a largo plazo, a corto plazo podríamos perder).

El principio fundamental sobre el que se ha de basar el trabajo en la ruleta es fácil de entender: los 37 casilleros que se reparten alrededor de la circunferencia de una ruleta no son físicamente iguales y, por lo tanto, la bola tiene más facilidad para entrar en unos que en otros, dependiendo de las características físicas de cada casilla.

Otro posible factor que otorgue imperfecciones al juego de la ruleta es que el crupier, cansado de hacer siempre lo mismo, tuviese una tirada un tanto automatizada y lanzara la bola y el plato de la ruleta a una velocidad parecida. Es lógico suponer, entonces, que la bola caería aproximadamente a la misma distancia del sitio en el que salió.

Hay casos de jugadores que trabajaron la ruleta de esta forma y a largo plazo consiguieron ganar mucho dinero. Siempre con disciplina y paciencia y, por supuesto, aplicando siempre un criterio matemático a la hora de jugar.

Replanteando COMPUTACIONALMENTE (Programa manipulación gráfica) un anterior problema !!!!

NEM: Segundo Medio.
Eje temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación de la recta. Distancia entre dos puntos. Uso de programa computacional de manipulación algebraica o gráfica.

Recuerdan el problema:

La ecuación de la recta es 3y = -7x+4, entonces la distancia más corta de un punto de la recta al origen del sistema es:

En la anterior resolución se muestra un protocolo de acción que luego es desarrollado. Acá lo resolvimos usando el programa -que se puede bajar de la RED: Geogebra!

En el gráfico:

AB: Recta dada: 3y = -7x + 4

Recta CD, perpendicular a recta AB, Trazo CD es la distancia mas corta, al origen .....

Miren como GEOGEBRA nos da la distancia entre C y D, que es según el gráfico = 0,53 aproximadamente, lo que equivale a:



la solución que antes habíamos encontrado.

viernes, 21 de noviembre de 2008

Continúe el cuento .....

Un viejito de 70 años
se cayó de un séptimo piso.
Se qebró seis costillas, diez
personas lo vieron caer y entre
dos le dijeron...

Matemáticas y Comics (extracto de Divulgamat)


En las tiras diarias del 6 de febrero al 14 de marzo de 1958, la aventura de Flash Gordon (y su eterna novia Dale Arden) transcurre en la Luna, en su lado oculto donde ambos descubren una extraña estructura no natural, son atacados por robots y sometidos, con riesgo de su vida, a un test de inteligencia o conocimientos: saber que el número pi está relacionado con la figura geométrica de un círculo y recordar el lugar que ocupan en la tabla periódica el oxígeno y el nitrógeno, los gases más abundantes en nuestra atmósfera.

Primero Flash y Dale se encuentran en una habitación cerrada de bajo techo que se está llenando de agua con peligro para su vida. Hay varias puertas, se abre una marcada con un triángulo pero Flash impide que Dale huya hacia ella: hay un gas venenoso. Finalmente, tras interpretar correctamente unos ruidos misteriosos (bip, bip, bip. - bip. - bip, bip, bip, bip. - bip. - bip, bip, bip, bip, bip, bip.- )

Flash abre la puerta marcada con un círculo para llegar a una sala con aire respirable y un techo alto. Flash ha descubierto la secuencia de los "bip": 3-1-4-1-6, es decir: 3,1416, el número pi (π), la proporción entre la longitud de una circunferencia y su círculo. La puerta salvadora tenía que ser la marcada con el círculo...



Luego, en esa nueva sala, el aire se va enrareciendo, mientras una pared se ilumina con unos cuadros con símbolos incomprensibles. Los símbolos no significan nada y así lo reconoce Flash Gordon, pero la disposición de los cuadros le recuerda finalmente la de la tabla periódica de los elementos. Por ello, al presionar sobre los cuadros que, pese a sus símbolos extraños, ocupan el lugar que correspondería a los números atómicos del Nitrógeno y del Oxígeno (los dos mayores componentes de la atmósfera terrestre) se renueva el aire.


El test de ciencia ha sido superado con éxito.

jueves, 20 de noviembre de 2008

Otro Desafío PSU (Santillana) MUY anclado a la realidad

Tres sitios se extienden desde calle Oriente hasta la calle Poniente, como muestra la figura. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle Poniente, además el frente total de los sitios en la calle Oriente es 120 mteros.

El frente del sitio 2 de la calle Oriente es:

A) 53 m.
B) 40 m.
C) 36 m.
D) 27 m.
E) 26,6 m.

Solución: Uno de estos días !

Como al parecer está poco legible el escrito escaneado:

Que corresponde a la siguiente figura:

miércoles, 19 de noviembre de 2008

Desafío PSU - Santillana

La ecuación de la recta es 3y = -7x+4, entonces la distancia más corta de un punto de la recta al origen del sistema es:

Acá, en este ejercicio pedimos UN PROTOCOLO de resolución, cuál será el protocolo más óptimo, el más corto? La idea es entregar un protocolo que cualquier matemático y no tan matemático, al leerlo pueda seguir como un autómata, sus instrucciones.

Si se trata de resultados específicos, será alguna de las siguientes alternativas:



Solución: Posible protocolo a revisar y a mejorar:

1) Sabiendo que la distancia más corta del origen a la recta, es una perpendicular a la recta que pasa por el origen, obtenemos la pendiente de la recta dada.

2) Sabiendo que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculates es -1, obtenemos la pendiente de la recta perpendicular a la recta dada.

3) Con está última pendiente y el punto (0,0), logramos la recta perpendicular a la dada.

4) Formando el sistema de 2x2 con las dos rectas, obtenemos (buscando la solución al sistema) el punto o pie de de intersección (a,b).

5) Calculamos con (0,0) y (a,b) la distancia, usando la fórmula de distancia.

Hay otro protocolo mejor? Resolvamos usando el protocolo:

La alternativa correcta es la E)

Desafío PSU



¿A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica que se muestra?
Solución: La gráfica corresponde a una función exponencial

, donde en este caso a es un número entre 0 y 1.

Esto lo describe B), donde a = 1/2.
Fíjese que F(0)= 1 + 2 = 3
Además, la curva se acerca asintóticamente a 2, porque el término libre de la función es 2 y (1/2) elevado a x, se hace cada vez más pequeño en la medida que x crece!






Desafío PSU - Santillana

Solución, uno de estos días .....

lunes, 17 de noviembre de 2008

Noticias de Educación en Chile ....

CHINA INAUGURÓ EL TELESCOPIO MÁS POTENTE DEL MUNDO

El proyecto LAMOST permitirá conocer la historia de los astros a través de sus emisiones de luz. Entrará en operaciones el 2009. Costó 34.4 millones de dólares. La colina donde está ubicado tiene 960 metros de altura.

4 mil tubos de fibra óptica posee para analizar la luz de las estrellas.

LAS SALAS SE DESORDENAN PARA PROMOVER MEJORES APRENDIZAJES

Esa es la tendencia. Nuevos mobiliarios y formas de distribuir a los estudiantes dentro del espacio del aula pueden ayudar a generar clases más activas y provechosas, tanto para los alumnos como para el profesor., dicen los expertos.

En los colegios de nuestro país hay un promedio de 25.5 alumnos por profesor en básica y 26 en media. EL promedio de los países desarrollados es de 16.2 en básica y 13.2 en media.

viernes, 14 de noviembre de 2008

¿ 2 + 2 = 5 ?

ingenios


La Nación - Desafío PSU

Al lanzar un dado común, ¿Cuáles de los siguientes eventos son equiprobables?

I) Obtener un número mayor que 2
II) Obtener un número menor que 4
III) Obtener un número primo

A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) I, II, III
E) No son equiprobables.

Solución: El fin de semana o en la semana que viene!

Veamos:

I) Obtener un número mayor que 2: (favorables: números 3,4,5,6 ; 4/6)
II) Obtener un número menor que 4: (favorables: números 1,2,3 ; 3/6)
III) Obtener un número primo: (favorables: números 2,3,5 ; 3/6)

Como dice Joelle, II y III

Suceso Imposible .... Desafío PSU

¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es 0?

A) Que al lanzar una moneda no salga cara.
B) Que mañana amanezca nublado.
C) Que al lanzar un dado salga un número primo.
D) Que la sacar una carta de un mazo de naipes de 52 cartas salga un AS.
E) Nacer el 31 de Julio.

Solución: ¿Te atreves? .... mira en los comentarios está la letra de la respuesta !!!!

ERROR del Blogger: la alternativa E) debía decir:

E) Nacer el 31 de JuNio .... Y este si que es un suceso IMPOSIBLE ..... Para Joelle: Nublado mañana, puede ser!

El Aleph - Texto Completo


O God, I could be bounded in a nutshelland count myself a King of infinite space.
Hamlet, II, 2


But they will teach us that Eternity is the Standing still of the Present Time, a Nunc-stans (ast the Schools call it); which neither they, nor any else understand, no more than they would a Hic-stans for an Infinite greatnesse of Place.
Leviathan, IV, 46

La candente mañana de febrero en que Beatriz Viterbo murió, después de una imperiosa agonía que no se rebajó un solo instante ni al sentimentalismo ni al miedo, noté que las carteleras de fierro de la Plaza Constitución habían renovado no sé qué aviso de cigarrillos rubios; el hecho me dolió, pues comprendí que el incesante y vasto universo ya se apartaba de ella y que ese cambio era el primero de una serie infinita. Cambiará el universo pero yo no, pensé con melancólica vanidad; alguna vez, lo sé, mi vana devoción la había exasperado; muerta yo podía consagrarme a su memoria, sin esperanza, pero también sin humillación. Consideré que el treinta de abril era su cumpleaños; visitar ese día la casa de la calle Garay para saludar a su padre y a Carlos Argentino Daneri, su primo hermano, era un acto cortés, irreprochable, tal vez ineludible. De nuevo aguardaría en el crepúsculo de la abarrotada salita, de nuevo estudiaría las circunstancias de sus muchos retratos. Beatriz Viterbo, de perfil, en colores; Beatriz, con antifaz, en los carnavales de 1921; la primera comunión de Beatriz; Beatriz, el día de su boda con Roberto Alessandri; Beatriz, poco después del divorcio, en un almuerzo del Club Hípico; Beatriz, en Quilmes, con Delia San Marco Porcel y Carlos Argentino; Beatriz, con el pekinés que le regaló Villegas Haedo; Beatriz, de frente y de tres cuartos, sonriendo, la mano en el mentón... No estaría obligado, como otras veces, a justificar mi presencia con módicas ofrendas de libros: libros cuyas páginas, finalmente, aprendí a cortar, para no comprobar, meses después, que estaban intactos.

-
Beatriz Viterbo murió en 1929; desde entonces, no dejé pasar un treinta de abril sin volver a su casa. Yo solía llegar a las siete y cuarto y quedarme unos veinticinco minutos; cada año aparecía un poco más tarde y me quedaba un rato más; en 1933, una lluvia torrencial me favoreció: tuvieron que invitarme a comer. No desperdicié, como es natural, ese buen precedente; en 1934, aparecí, ya dadas las ocho, con un alfajor santafecino; con toda naturalidad me quedé a comer. Así, en aniversarios melancólicos y vanamente eróticos, recibí las graduales confidencias de Carlos Argentino Daneri.

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Beatriz era alta, frágil, muy ligeramente inclinada; había en su andar (si el oxímoron* es tolerable) una como graciosa torpeza, un principio de éxtasis; Carlos Argentino es rosado, considerable, canoso, de rasgos finos. Ejerce no sé qué cargo subalterno en una biblioteca ilegible de los arrabales del Sur; es autoritario, pero también es ineficaz; aprovechaba, hasta hace muy poco, las noches y las fiestas para no salir de su casa. A dos generaciones de distancia, la ese italiana y la copiosa gesticulación italiana sobreviven en él. Su actividad mental es continua, apasionada, versátil y del todo insignificante. Abunda en inservibles analogías y en ociosos escrúpulos. Tiene (como Beatriz) grandes y afiladas manos hermosas. Durante algunos meses padeció la obsesión de Paul Fort, menos por sus baladas que por la idea de una gloria intachable. "Es el Príncipe de los poetas de Francia", repetía con fatuidad. "En vano te revolverás contra él; no lo alcanzará, no, la más inficionada de tus saetas."

-

El treinta de abril de 1941 me permití agregar al alfajor una botella de coñac del país. Carlos Argentino lo probó, lo juzgó interesante y emprendió, al cabo de unas copas, una vindicación del hombre moderno.

-

-Lo evoco -dijo con una animación algo inexplicable- en su gabinete de estudio, como si dijéramos en la torre albarrana de una ciudad, provisto de teléfonos, de telégrafos, de fonógrafos, de aparatos de radiotelefonía, de cinematógrafos, de linternas mágicas, de glosarios, de horarios, de prontuarios, de boletines...

-

Observó que para un hombre así facultado el acto de viajar era inútil; nuestro siglo XX había transformado la fábula de Mahoma y de la montaña; las montañas, ahora, convergían sobre el moderno Mahoma.

-

Tan ineptas me parecieron esas ideas, tan pomposa y tan vasta su exposición, que las relacioné inmediatamente con la literatura; le dije que por qué no las escribía. Previsiblemente respondió que ya lo había hecho: esos conceptos, y otros no menos novedosos, figuraban en el Canto Augural, Canto Prologal o simplemente Canto-Prólogo de un poema en el que trabajaba hacía muchos años, sin réclame, sin bullanga ensordecedora, siempre apoyado en esos dos báculos que se llaman el trabajo y la soledad. Primero, abría las compuertas a la imaginación; luego, hacía uso de la lima. El poema se titulaba La Tierra; tratábase de una descripción del planeta, en la que no faltaban, por cierto, la pintoresca digresión y el gallardo apóstrofe**.

-

Le rogué que me leyera un pasaje, aunque fuera breve. Abrió un cajón del escritorio, sacó un alto legajo de hojas de block estampadas con el membrete de la Biblioteca Juan Crisóstomo Lafinur y leyó con sonora satisfacción:

He visto, como el griego, las urbes de los hombres,

los trabajos, los días de varia luz, el hambre;

no corrijo los hechos, no falseo los nombres,

pero el voyage que narro, es... autour de ma chambre.

-
-Estrofa a todas luces interesante -dictaminó-. El primer verso granjea el aplauso del catedrático, del académico, del helenista, cuando no de los eruditos a la violeta, sector considerable de la opinión; el segundo pasa de Homero a Hesíodo (todo un implícito homenaje, en el frontis del flamante edificio, al padre de la poesía didáctica), no sin remozar un procedimiento cuyo abolengo está en la Escritura, la enumeración, congerie o conglobación; el tercero -¿barroquismo, decadentismo; culto depurado y fanático de la forma?- consta de dos hemistiquios gemelos; el cuarto, francamente bilingüe, me asegura el apoyo incondicional de todo espíritu sensible a los desenfadados envites de la facecia. Nada diré de la rima rara ni de la ilustración que me permite, ¡sin pedantismo!, acumular en cuatro versos tres alusiones eruditas que abarcan treinta siglos de apretada literatura: la primera a la Odisea, la segunda a los Trabajos y días, la tercera a la bagatela inmortal que nos depararan los ocios de la pluma del saboyano... Comprendo una vez más que el arte moderno exige el bálsamo de la risa, el scherzo. ¡Decididamente, tiene la palabra Goldoni!

-

Otras muchas estrofas me leyó que también obtuvieron su aprobación y su comentario profuso. Nada memorable había en ellas; ni siquiera las juzgué mucho peores que la anterior. En su escritura habían colaborado la aplicación, la resignación y el azar; las virtudes que Daneri les atribuía eran posteriores. Comprendí que el trabajo del poeta no estaba en la poesía; estaba en la invención de razones para que la poesía fuera admirable; naturalmente, ese ulterior trabajo modificaba la obra para él, pero no para otros. La dicción oral de Daneri era extravagante; su torpeza métrica le vedó, salvo contadas veces, trasmitir esa extravagancia al poema1.

-

Una sola vez en mi vida he tenido ocasión de examinar los quince mil dodecasílabos del Polyolbion, esa epopeya topográfica en la que Michael Drayton registró la fauna, la flora, la hidrografía, la orografía, la historia militar y monástica de Inglaterra; estoy seguro de que ese producto considerable, pero limitado, es menos tedioso que la vasta empresa congénere de Carlos Argentino. Éste se proponía versificar toda la redondez del planeta; en 1941 ya había despachado unas hectáreas del estado de Queensland, más de un kilómetro del curso del Ob, un gasómetro al norte de Veracruz, las principales casas de comercio de la parroquia de la Concepción, la quinta de Mariana Cambaceres de Alvear en la calle Once de Septiembre, en Belgrano, y un establecimiento de baños turcos no lejos del acreditado acuario de Brighton. Me leyó ciertos laboriosos pasajes de la zona australiana de su poema; esos largos e informes alejandrinos carecían de la relativa agitación del prefacio. Copio una estrofa:

-

Sepan. A manderecha del poste rutinario

(viniendo, claro está, desde el Nornoroeste)

se aburre una osamenta -¿Color? Blanquiceleste-

que da al corral de ovejas catadura de osario.

-

-Dos audacias -gritó con exultación-, rescatadas, te oigo mascullar, por el éxito. Lo admito, lo admito. Una, el epíteto rutinario, que certeramente denuncia, en passant, el inevitable tedio inherente a las faenas pastoriles y agrícolas, tedio que ni las geórgicas ni nuestro ya laureado Don Segundo se atrevieron jamás a denunciar así, al rojo vivo. Otra, el enérgico prosaísmo se aburre una osamenta, que el melindroso querrá excomulgar con horror pero que apreciará más que su vida el crítico de gusto viril. Todo el verso, por lo demás, es de muy subidos quilates. El segundo hemistiquio entabla animadísima charla con el lector; se adelanta a su viva curiosidad, le pone una pregunta en la boca y la satisface... al instante. ¿Y qué me dices de ese hallazgo, blanquiceleste? El pintoresco neologismo sugiere el cielo, que es un factor importantísimo del paisaje australiano. Sin esa evocación resultarían demasiado sombrías las tintas del boceto y el lector se vería compelido a cerrar el volumen, herida en lo más íntimo el alma de incurable y negra melancolía.

-

Hacia la medianoche me despedí.

-

Dos domingos después, Daneri me llamó por teléfono, entiendo que por primera vez en la vida. Me propuso que nos reuniéramos a las cuatro, "para tomar juntos la leche, en el contiguo salón-bar que el progresismo de Zunino y de Zungri -los propietarios de mi casa, recordarás- inaugura en la esquina; confitería que te importará conocer". Acepté, con más resignación que entusiasmo. Nos fue difícil encontrar mesa; el "salón-bar", inexorablemente moderno, era apenas un poco menos atroz que mis previsiones; en las mesas vecinas, el excitado público mencionaba las sumas invertidas sin regatear por Zunino y por Zungri. Carlos Argentino fingió asombrarse de no sé qué primores de la instalación de la luz (que, sin duda, ya conocía) y me dijo con cierta severidad:

-

-Mal de tu grado habrás de reconocer que este local se parangona con los más encopetados de Flores.

-

Me releyó, después, cuatro o cinco páginas del poema. Las había corregido según un depravado principio de ostentación verbal: donde antes escribió azulado, ahora abundaba en azulino, azulenco y hasta azulillo. La palabra lechoso no era bastante fea para él; en la impetuosa descripción de un lavadero de lanas, prefería lactario, lacticinoso, lactescente, lechal... Denostó con amargura a los críticos; luego, más benigno, los equiparó a esas personas, "que no disponen de metales preciosos ni tampoco de prensas de vapor, laminadores y ácidos sulfúricos para la acuñación de tesoros, pero que pueden indicar a los otros el sitio de un tesoro". Acto continuo censuró la prologomanía, "de la que ya hizo mofa, en la donosa prefación del Quijote, el Príncipe de los Ingenios". Admitió, sin embargo, que en la portada de la nueva obra convenía el prólogo vistoso, el espaldarazo firmado por el plumífero de garra, de fuste. Agregó que pensaba publicar los cantos iniciales de su poema. Comprendí, entonces, la singular invitación telefónica; el hombre iba a pedirme que prologara su pedantesco fárrago. Mi temor resultó infundado: Carlos Argentino observó, con admiración rencorosa, que no creía errar en el epíteto al calificar de sólido el prestigio logrado en todos los círculos por Álvaro Melián Lafinur, hombre de letras, que, si yo me empeñaba, prologaría con embeleso el poema. Para evitar el más imperdonable de los fracasos, yo tenía que hacerme portavoz de dos méritos inconcusos: la perfección formal y el rigor científico, "porque ese dilatado jardín de tropos, de figuras, de galanuras, no tolera un solo detalle que no confirme la severa verdad". Agregó que Beatriz siempre se había distraído con Álvaro.

-

Asentí, profusamente asentí. Aclaré, para mayor verosimilitud, que no hablaría el lunes con Álvaro, sino el jueves: en la pequeña cena que suele coronar toda reunión del Club de Escritores. (No hay tales cenas, pero es irrefutable que las reuniones tienen lugar los jueves, hecho que Carlos Argentino Daneri podía comprobar en los diarios y que dotaba de cierta realidad a la frase.) Dije, entre adivinatorio y sagaz, que antes de abordar el tema del prólogo, describiría el curioso plan de la obra. Nos despedimos; al doblar por Bernardo de Irigoyen, encaré con toda imparcialidad los porvenires que me quedaban: a) hablar con Álvaro y decirle que el primo hermano aquel de Beatriz (ese eufemismo explicativo me permitiría nombrarla) había elaborado un poema que parecía dilatar hasta lo infinito las posibilidades de la cacofonía y del caos; b) no hablar con Álvaro. Preví, lúcidamente, que mi desidia optaría por b.

-

A partir del viernes a primera hora, empezó a inquietarme el teléfono. Me indignaba que ese instrumento, que algún día produjo la irrecuperable voz de Beatriz, pudiera rebajarse a receptáculo de las inútiles y quizá coléricas quejas de ese engañado Carlos Argentino Daneri. Felizmente, nada ocurrió -salvo el rencor inevitable que me inspiró aquel hombre que me había impuesto una delicada gestión y luego me olvidaba.

-

El teléfono perdió sus terrores, pero a fines de octubre, Carlos Argentino me habló. Estaba agitadísimo; no identifiqué su voz, al principio. Con tristeza y con ira balbuceó que esos ya ilimitados Zunino y Zungri, so pretexto de ampliar su desaforada confitería, iban a demoler su casa.

-

-¡La casa de mis padres, mi casa, la vieja casa inveterada de la calle Garay! -repitió, quizá olvidando su pesar en la melodía.

-

No me resultó muy difícil compartir su congoja. Ya cumplidos los cuarenta años, todo cambio es un símbolo detestable del pasaje del tiempo; además, se trataba de una casa que, para mí, aludía infinitamente a Beatriz. Quise aclarar ese delicadísimo rasgo; mi interlocutor no me oyó. Dijo que si Zunino y Zungri persistían en ese propósito absurdo, el doctor Zunni, su abogado, los demandaría ipso facto por daños y perjuicios y los obligaría a abonar cien mil nacionales.

-

El nombre de Zunni me impresionó; su bufete, en Caseros y Tacuarí, es de una seriedad proverbial. Interrogué si éste se había encargado ya del asunto. Daneri dijo que le hablaría esa misma tarde. Vaciló y con esa voz llana, impersonal, a que solemos recurrir para confiar algo muy íntimo, dijo que para terminar el poema le era indispensable la casa, pues en un ángulo del sótano había un Aleph. Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contienen todos los puntos.

-

-Está en el sótano del comedor -explicó, aligerada su dicción por la angustia-. Es mío, es mío: yo lo descubrí en la niñez, antes de la edad escolar. La escalera del sótano es empinada, mis tíos me tenían prohibido el descenso, pero alguien dijo que había un mundo en el sótano. Se refería, lo supe después, a un baúl, pero yo entendí que había un mundo. Bajé secretamente, rodé por la escalera vedada, caí. Al abrir los ojos, vi el Aleph.
-

-¿El Aleph? -repetí.

-

-Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos. A nadie revelé mi descubrimiento, pero volví. ¡El niño no podía comprender que le fuera deparado ese privilegio para que el hombre burilara el poema! No me despojarán Zunino y Zungri, no y mil veces no. Código en mano, el doctor Zunni probará que es inajenable mi Aleph.

Traté de razonar.

-Pero, ¿no es muy oscuro el sótano?

-

-La verdad no penetra en un entendimiento rebelde. Si todos los lugares de la tierra están en el Aleph, ahí estarán todas las luminarias, todas las lámparas, todos los veneros de luz.

-

-Iré a verlo inmediatamente.


Corté, antes de que pudiera emitir una prohibición. Basta el conocimiento de un hecho para percibir en el acto una serie de rasgos confirmatorios, antes insospechados; me asombró no haber comprendido hasta ese momento que Carlos Argentino era un loco. Todos esos Viterbo, por lo demás... Beatriz (yo mismo suelo repetirlo) era una mujer, una niña de una clarividencia casi implacable, pero había en ella negligencias, distracciones, desdenes, verdaderas crueldades, que tal vez reclamaban una explicación patológica. La locura de Carlos Argentino me colmó de maligna felicidad; íntimamente, siempre nos habíamos detestado.
En la calle Garay, la sirvienta me dijo que tuviera la bondad de esperar. El niño estaba, como siempre, en el sótano, revelando fotografías. Junto al jarrón sin una flor, en el piano inútil, sonreía (más intemporal que anacrónico) el gran retrato de Beatriz, en torpes colores. No podía vernos nadie; en una desesperación de ternura me aproximé al retrato y le dije:

-

-Beatriz, Beatriz Elena, Beatriz Elena Viterbo, Beatriz querida, Beatriz perdida para siempre, soy yo, soy Borges.

-

Carlos entró poco después. Habló con sequedad; comprendí que no era capaz de otro pensamiento que de la perdición del Aleph.

-

-Una copita del seudo coñac -ordenó- y te zampuzarás en el sótano. Ya sabes, el decúbito dorsal es indispensable. También lo son la oscuridad, la inmovilidad, cierta acomodación ocular. Te acuestas en el piso de baldosas y fijas los ojos en el decimonono escalón de la pertinente escalera. Me voy, bajo la trampa y te quedas solo. Algún roedor te mete miedo ¡fácil empresa! A los pocos minutos ves el Aleph. ¡El microcosmo de alquimistas y cabalistas, nuestro concreto amigo proverbial, el multum in parvo!

-

Ya en el comedor, agregó:

-

-Claro está que si no lo ves, tu incapacidad no invalida mi testimonio... Baja; muy en breve podrás entablar un diálogo con todas las imágenes de Beatriz.

-

Bajé con rapidez, harto de sus palabras insustanciales. El sótano, apenas más ancho que la escalera, tenía mucho de pozo. Con la mirada, busqué en vano el baúl de que Carlos Argentino me habló. Unos cajones con botellas y unas bolsas de lona entorpecían un ángulo. Carlos tomó una bolsa, la dobló y la acomodó en un sitio preciso.

-

-La almohada es humildosa -explicó-, pero si la levanto un solo centímetro, no verás ni una pizca y te quedas corrido y avergonzado. Repantiga en el suelo ese corpachón y cuenta diecinueve escalones.
Cumplí con sus ridículos requisitos; al fin se fue. Cerró cautelosamente la trampa; la oscuridad, pese a una hendija que después distinguí, pudo parecerme total. Súbitamente comprendí mi peligro: me había dejado soterrar por un loco, luego de tomar un veneno. Las bravatas de Carlos transparentaban el íntimo terror de que yo no viera el prodigio; Carlos, para defender su delirio, para no saber que estaba loco, tenía que matarme. Sentí un confuso malestar, que traté de atribuir a la rigidez, y no a la operación de un narcótico. Cerré los ojos, los abrí. Entonces vi el Aleph.

-

Arribo, ahora, al inefable centro de mi relato; empieza, aquí, mi desesperación de escritor. Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna; Ezequiel, de un ángel de cuatro caras que a un tiempo se dirige al Oriente y al Occidente, al Norte y al Sur. (No en vano rememoro esas inconcebibles analogías; alguna relación tienen con el Aleph.) Quizá los dioses no me negarían el hallazgo de una imagen equivalente, pero este informe quedaría contaminado de literatura, de falsedad. Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia. Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

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En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer en el pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio, la de Philemon Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico, yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo multiplican sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la delicada osatura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi en un cajón del escritorio (y la letra me hizo temblar) cartas obscenas, increíbles, precisas, que Beatriz había dirigido a Carlos Argentino, vi un adorado monumento en la Chacarita, vi la reliquia atroz de lo que deliciosamente había sido Beatriz Viterbo, vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.

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Sentí infinita veneración, infinita lástima.

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-Tarumba habrás quedado de tanto curiosear donde no te llaman -dijo una voz aborrecida y jovial-. Aunque te devanes los sesos, no me pagarás en un siglo esta revelación. ¡Qué observatorio formidable, che Borges!
Los zapatos de Carlos Argentino ocupaban el escalón más alto. En la brusca penumbra, acerté a levantarme y a balbucear:

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-Formidable. Sí, formidable.
La indiferencia de mi voz me extrañó. Ansioso, Carlos Argentino insistía:

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-¿Lo viste todo bien, en colores?

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En ese instante concebí mi venganza. Benévolo, manifiestamente apiadado, nervioso, evasivo, agradecí a Carlos Argentino Daneri la hospitalidad de su sótano y lo insté a aprovechar la demolición de la casa para alejarse de la perniciosa metrópoli, que a nadie ¡créame, que a nadie! perdona. Me negué, con suave energía, a discutir el Aleph; lo abracé, al despedirme, y le repetí que el campo y la serenidad son dos grandes médicos.

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En la calle, en las escaleras de Constitución, en el subterráneo, me parecieron familiares todas las caras. Temí que no quedara una sola cosa capaz de sorprenderme, temí que no me abandonara jamás la impresión de volver. Felizmente, al cabo de unas noches de insomnio, me trabajó otra vez el olvido.

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Posdata del primero de marzo de 1943. A los seis meses de la demolición del inmueble de la calle Garay, la Editorial Procusto no se dejó arredrar por la longitud del considerable poema y lanzó al mercado una selección de "trozos argentinos". Huelga repetir lo ocurrido; Carlos Argentino Daneri recibió el Segundo Premio Nacional de Literatura

2. El primero fue otorgado al doctor Aita; el tercero, al doctor Mario Bonfanti; increíblemente, mi obra Los naipes del tahúr no logró un solo voto. ¡Una vez más, triunfaron la incomprensión y la envidia! Hace ya mucho tiempo que no consigo ver a Daneri; los diarios dicen que pronto nos dará otro volumen. Su afortunada pluma (no entorpecida ya por el Aleph) se ha consagrado a versificar los epítomes del doctor Acevedo Díaz.

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Dos observaciones quiero agregar: una, sobre la naturaleza del Aleph; otra, sobre su nombre. Éste, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicación al disco de mi historia no parece casual. Para la Cábala, esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad; también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes. Yo querría saber: ¿Eligió Carlos Argentino ese nombre, o lo leyó, aplicado a otro punto donde convergen todos los puntos, en alguno de los textos innumerables que el Aleph de su casa le reveló? Por increíble que parezca, yo creo que hay (o que hubo) otro Aleph, yo creo que el Aleph de la calle Garay era un falso Aleph.

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Doy mis razones. Hacia 1867 el capitán Burton ejerció en el Brasil el cargo de cónsul británico; en julio de 1942 Pedro Henríquez Ureña descubrió en una biblioteca de Santos un manuscrito suyo que versaba sobre el espejo que atribuye el Oriente a Iskandar Zú al-Karnayn, o Alejandro Bicorne de Macedonia. En su cristal se reflejaba el universo entero. Burton menciona otros artificios congéneres -la séptuple copa de Kai Josrú, el espejo que Tárik Benzeyad encontró en una torre (1001 Noches, 272), el espejo que Luciano de Samosata pudo examinar en la luna (Historia verdadera, I, 26), la lanza especular que el primer libro del Satyricon de Capella atribuye a Júpiter, el espejo universal de Merlin, "redondo y hueco y semejante a un mundo de vidrio" (The Faerie Queene, III, 2, 19)-, y añade estas curiosas palabras: "Pero los anteriores (además del defecto de no existir) son meros instrumentos de óptica. Los fieles que concurren a la mezquita de Amr, en el Cairo, saben muy bien que el universo está en el interior de una de las columnas de piedra que rodean el patio central... Nadie, claro está, puede verlo, pero quienes acercan el oído a la superficie, declaran percibir, al poco tiempo, su atareado rumor... La mezquita data del siglo VII; las columnas proceden de otros templos de religiones anteislámicas, pues como ha escrito Abenjaldún: En las repúblicas fundadas por nómadas es indispensable el concurso de forasteros para todo lo que sea albañilería".

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¿Existe ese Aleph en lo íntimo de una piedra? ¿Lo he visto cuando vi todas las cosas y lo he olvidado? Nuestra mente es porosa para el olvido; yo mismo estoy falseando y perdiendo, bajo la trágica erosión de los años, los rasgos de Beatriz.

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A Estela Canto

jueves, 13 de noviembre de 2008

Borges y tres paradojas matemáticas .... (Guillermo Martínez, DIVULGAMAT)




Borges y tres paradojas matemáticas

(Extracto de una conferencia dictada en la Universidad de Boston y en la Universidad Armstrong Atlantic, en Savannah, octubre y noviembre de 2001)

Hay un fenómeno de apropiación del nombre de Borges, que a esta altura hace sonreír, y que permite la multiplicación de toda clase de libros cuyos títulos son Borges y... casi cualquier cosa que se quiera escribir al lado.Es verdad que Borges escribió sobre unacantidad imponente de temas: estos autores hacen un salto al infinito y se proponen demostrarnos que no dejó nada de lado. Tanto mejor cuanto más lejana y débil es la conexión, porque entonces pueden intentar libros más “sorprendentes” y “sagaces”.Hay una excepción interesante a esta maquinaria, en una colecciónde ensayos que se llama Borges y la ciencia. Es un libro hecho por científicos argentinos: incluye un ensayo sobre Borges y la física, dos o tres irreprochables sobre Borges y la matemática... pero mi favorito fue uno que se llama “Borges y la biología”. Luego de algunos rodeos, y algo desolado, casi como disculpándose, el autor se decide a escribir que después de haber leído la obra completa de Borges tiene que decir que no hay ninguna vinculación entre Borges y la biología. ¡Ninguna! El hombre había descubierto con terror algo en este mundo –la biología- que Borges no había tocado...

Pero afortunadamente, para la buena definición de esta charla, como dirían los matemáticos, sí podemos decir que existe una conexión sólida, indudable, entre Borges y la matemática. Borges estudió matemática durante varios años, principalmente a través de la visión logicista de Bertrand Russell, quien trataba de reducir la matemática asus métodos de demostración, a una “vasta tautología”, un propósito, como se comprobaría luego, condenado al fracaso. Fue seguramente también a través de Russell que conoció las arenas movedizas de las paradojas lógicas, los infinitos matemáticos y las discusiones sobre los lenguajes formales que transformaría con el tiempo en piezas literarias. Hay una cantidad realmente asombrosa de rastros matemáticos, e incluso pequeñas lecciones de lógica y matemática a través de su obra, desde “El idioma analítico de John Wilkins” al “Examen de la obra de Herbert Quain”, desde “La biblioteca de Babel” y “La lotería de Babilonia”, hasta “La esfera de Pascal” y “Avatares de la tortuga”, desde “La doctrina de los ciclos” y “Argumentum Ornithologicum”, hasta “El disco” o “La muerte y la brújula”, con múltiples ecos que llegan también a su obra poética. Pero a poco que uno relee estos textos, se advierte que hay un ejercicio de repetición y variaciones sobre lo que son en el fondo tres ideas principales. Estas tres ideas aparecen reunidas en el cuento “El Aleph” y podemos examinarlas desde allí. La primera está vinculada a la elección del nombre del Aleph. “Para la Mengenlehre”, dice Borges, “es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”. La Mengenlehre es el nombre alemán de la teoría matemática de las cantidades;Borges encontraba particularmente curioso y perturbador este quiebre del antiguo postulado aristotélico según el cual el todo debe ser mayor que cualquiera de las partes. “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros”, dice en “Avatares de la tortuga”: “No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito”.

En el infinito matemático, en efecto, el todo no es necesariamentemayor que cualquiera de las partes. Para entender esto, pensemos primero en un niño que tiene un mazo de cartas pero sólo sabe contar hasta diez. El niño reparte las cartas con su padre, le da la primera, se queda con la segunda, le da la tercera, se queda con la cuarta, etc. Cuando termina de repartir el mazo, no podría decir cuántas cartas tiene en la mano, porque sólo sabe contar hasta diez, pero sí puede decir algo de lo que todavía estáseguro, y es que él y su padre tienen la misma cantidad de cartas. De una manera parecida, en un desfile militar difícilmente podamos contar a golpe de vista la cantidad de jinetes, pero sí podemos decir algo, quizá no muy brillante, pero cierto, y es que hay la misma cantidad de jinetes que de caballos.

Y bien, esta es la idea que encontraron los matemáticos para “contar” conjuntos infinitos. Dicen que un conjunto tiene “tantos elementos” como los números naturales si se puede asignar un número distinto a cada elemento, usando en esta asignación todos los números que empleamos para contar. Pero, y aquí viene el quiebre queintriga tanto a Borges, el conjunto de los números pares tiene de este modo “tantos elementos” comolos números naturales, ya que se puede asignar el 1 al primer número par 2, el 2 al 4, el 3 el 6, etc.Tenemos así una parte propia de los números naturales, digamos, una “mitad”, los pares, que es “tan grande” como el todo.

La segunda idea es más bien geométrica y la encontramos un poco antes, cuando Borges intenta, con distintas analogías, describir el Aleph, el punto que concentra y guarda todas las imágenes. “Los místicos, en análogo trance”, escribe, “prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna.” Esta imagen puede parecer oscura, o un juego de palabras, pero es una metáfora magnífica, singularmente precisa, una vez que se conoce la explicación matemática: pensemos primeramente en el plano, por ejemplo, la superficie de este pizarrón. Yo pedí especialmente un pizarrón, ¡ahora tengo que usarlo!Dibujemos, a partir de un punto cualquiera, círculos con radio cada vez más grande. Estos círculos cubren más y más puntos del pizarrón, y por lejano que se encuentre un punto, es evidente que, eligiendo un radio suficientemente grande, puedo “enlazarlo” dentro de uno de miscírculos. Más aún, no importa dónde haya fijado en principio el centro de estos círculos, con radios suficientemente grandes llego desde cualquier centro tan lejos como quiera. Pero entonces, dando un pequeño salto con la imaginación, podemos reemplazar la idea de plano por la de un círculo cuyo centro está en todas partes y cuya circunferencia...¿dónde dibujar la línea de la circunferencia? No llegamos a dibujarla porque el radio es infinito, la circunferencia está siempre más allá, como el horizonte, “en ninguna parte”. Exactamente lo mismo podemos hacer en el espacio tridimensional, reemplazando los círculos por esferas.Así, la totalidad del espacio, o el universo visible que muestra el Aleph, puede considerarse una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna. Pero entonces -y aquí la analogía muestra su eficacia- uno puede imaginar una contracción de esta esfera gigantesca original, de modo que todas las imágenes aparezcan concentradas en la esferita minúscula que ve Borges al pie de la escalera: el Aleph como el universo en su inicio, antes del bigbang, una pequeña esfera que aprisiona en un solo punto todas las imágenes.

La tercera idea es lo que yo llamaría la paradoja de autoreferencia, y aparece cada vez que Borges construye o alude a un mundo ficcional muy vasto y abarcatorio, que acaba por incluir a ese mismo mundo como un elemento,y a veces al narrador, o al lector, en sus reglas de juego. En “El Aleph” esto ocurre durante la célebre enumeración de imágenes: “...vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez otra vez el Aleph..., vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara...”. Esta clase de paradojas, que provienen de postular objetos o mundos demasiado vastos, fueron letales en la fundamentación de la matemática y no hay duda de que Borges debía conocer la más famosa, debida a Russell, que muestra que no puede postularse la existencia de un conjunto universal, digamos, un aleph de conjuntos, que contenga en sí, como elementos, a todos los conjuntos imaginables. El mismo Bertrand Russell dio esta popularización de la paradoja: supongamos que exista un barbero que afeite únicamente a los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Esto no parece en principio tan raro, se supone que esto es lo que hacen en general los barberos. Ahora bien, ¿debe este barbero afeitarse a sí mismo? Si se afeitara a sí mismo, estaría excluido de la clase de hombres a los que puede afeitar, por lo tanto no puede afeitarse a sí mismo. Pero si no se afeita a sí mismo, pasa a integrar la clase de hombres a los que sí debe afeitar, por lo tanto, debe afeitarse a sí mismo. En definitiva, el barbero está condenado a un limbo lógico, ¡en el que no puede afeitarse ni no afeitarse a sí mismo!

Dije antes que hay una multitud de rastros matemáticos en la obra de Borges. Esto es cierto, pero aún si no hubiera ninguno, aún en los textos que nada tienen que ver con la matemática, hay algo, un elemento de estilo en la escritura, que es particularmente grato a la estética matemática. Creo que la clave de ese elemento está expresada, inadvertidamente,en este pasaje extraordinario de “Historia de la Eternidad”: “No quiero despedirme del platonismo (que parece glacial) sin comunicar esta observación, con esperanza de que la prosigan y justifiquen: lo genérico puede ser más intenso que lo concreto. Casos ilustrativos no faltan. De chico, veraneando en el norte de la provincia, la llanura redonda y los hombres que mateaban en la cocina me interesaron, pero mi felicidad fue terrible cuando supe que ese redondel era “pampa” y esos varones “gauchos”. Lo genérico... prima sobre los rasgos individuales.”

Cuando Borges escribe, típicamente acumula ejemplos, analogías, historias afines, variaciones de lo que se propone contar. De esta manera la ficción principal que desarrolla es a la vez particular y genérica, y sus textos resuenan como si el ejemplo particular llevara en sí y aludiera permanentemente a una forma universal. Del mismo modo proceden los matemáticos. Cuando estudian un ejemplo, un caso particular, lo examinan con la esperanza de descubrir en él un rasgo más intenso, y general, que puedan abstraer en un teorema. Borges, les gusta creer a los matemáticos, escribe exactamente como lo harían ellos si los pusieran a la prueba: con un orgulloso platonismo, como si existiera un cielo de ficciones perfectas y una noción de verdad para la literatura.
Guillermo Martínez