"Educar no es llenar un recipiente, sino encender una hoguera ..."

por amor a las matemáticas .....

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"Yo vivo de preguntar, saber No puede ser lujo" (Sylvio Rodríguez)

Guías Mates Asociadas

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mail: psumates2009@gmail.com

Rivers de Ennio Morricone

Pienso en MATEMÁTICAS ..... pero NO sólo en esto

martes, 30 de septiembre de 2008

Saltando las rutinas .... SEXO y Matemáticas .....

Un curioso post en el BLOG: http://sospechosohabituales.blogspot.com/
para salir de la rutina de matematizar estricto:


Sexo y matemáticas

Gauss tuvo 6 hijos, Paul Erdös murió virgen. Dicho esto está claro que me queda un amplio margen de maniobra para ser un gran matemático y tener la vida sexual que me plazca ;-)

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Por cierto, me resulta increíble que Borges también muriese virgen. ¿Alguien puede confirmar el dato o explicarlo?

Comentarios: 6.

Pues Schrödinger, físico famoso por sus contribuciones a la mecánica cuántica (y por el gato), consiguió tener a la amante y a su mujer en su propia casa...
Por metge @ 24/11/06 11:10 AM

Lo de Borges, habría que preguntárselo a María Kodama.
Por senior citizen @ 24/11/06 2:29 PM

No nos engañemos, hoy en día casi nadie muere virgen... No vienen vírgenes ni los cd's que compramos para grabar ya!
Por Anónimo @ 24/11/06 2:43 PM

De Newton dicen que tampoco tenía una vida sexual muy movida...
Por Anónimo @ 24/11/06 7:23 PM

Según su ex-criada, Borges efectivamente era virgen. Link:Noticia Saludos, sospechosos!
Por Anónimo @ 25/11/06 12:15 AM

Será apresurado sacar estas concuusiones?: La actividad sexual de un matemático es directamente proporcional al número de erdös?

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Salir de la rutina .... hace bien!

¡ VIVA el SEXO y la ALEGRÍA!

Didáctica de las Matemáticas

Didáctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (1991), la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.
Para Brousseau (Kieran, 1998), la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento. Saber que es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica.

Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situación de enseñanza y aprendizaje, Schoenfeld (1987) postula una hipótesis básica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es, por lo tanto, explicar qué es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos.

Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. Steiner considera que la didáctica de la matemática debe tender hacia lo que Piaget denominó transdisciplinariedad lo que situaría a las investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin olvidar a la propia Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.

La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes niveles educativos.
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(Tomado de: La Didáctica de las Matemáticas: una visión general. D. Juan Antonio García Cruz)

Matemáticas y Filosofía

Matemáticas y Filosofía (Tomado de la charla de Dra. Irene Padillas)

Hay diferentes respuestas dadas por las distintas escuelas en la filosofía de las matemáticas, en torno a la pregunta acerca de cuál es el objeto de estudio de las matemáticas y cómo se conoce dicho objeto.

Logicismo

Frege defendía una concepción logicista, según la cual los objetos de las matemáticas son abstractos, eternos e independientes de nuestra mente (por lo tanto a Frege se le considera realista). Él pensaba que tenemos acceso a esos objetos (tales como los números y las colecciones de números) a través de la lógica. Por ejemplo, el cero se puede definir como el conjunto de todos aquellos individuos que no son idénticos a sí mismos. En efecto, para Frege el concepto de identidad es un concepto lógico. El proyecto logicista fracasa debido a la paradoja de las clases que no son miembros de sí mismas. Al contestar ya sea de manera afirmativa o negativa nos encontramos en ambos casos frente a una contradicción.

Intuicionismo

Al tratar de evitar la paradoja del tipo mencionado, los intuicionistas elaboran una nueva concepción de acuerdo a la cual los objetos de estudio de las matemáticas son construcciones mentales y por lo tanto ya no son objetos eternos, pues existen sólo en la medida en que son pensados. Esta escuela admite que existen proposiciones matemáticas que no son ni falsas ni verdaderas, limitando así el alcance del principio del tercero excluido. Como una gran cantidad de demostraciones en matemáticas dependen de la aceptación del principio del tercero excluido, el rechazo de dicho principio reduce en gran medida lo que para los intuicionistas constituyen las matemáticas.

Formalismo

Una nueva concepción matemática se expresa a través del formalismo de Hilbert, quien se propuso llevar a cabo un programa que tenía dos objetivos principales. El primero consistía en formalizar todas las áreas de las matemáticas, es decir, en elaborar sistemas formales a partir de los cuales se pudieran desarrollar las matemáticas. La estrategia de Hilbert fue la de formalizar primero la aritmética para así poder lograr su segundo objetivo: mostrar que dicho sistema era consistente. De acuerdo al formalismo, el objeto de estudio de las matemáticas lo constituyen los sistemas deductivos, los cuales consisten de símbolos y reglas para su manipulación. En la década de los años treinta, el matemático Kurt Gödel demostró que la aritmética no “puede probar su propia consistencia”, lo cual dio fin al programa de Hilbert.

Constructivismo


En matemáticas, muchos enunciados “existenciales” tales como “Existe un número primo mayor que 100 tal que...” sólo se han podido demostrar por lo que se conoce como “prueba por reducción al absurdo” (es decir, la demostración de dichos enunciados consiste en asumir que son falsos y mostrar que esto lleva a una contradicción), la cual depende del principio del tercero excluido. El constructivismo, que es una variante del intuicionismo, admite como demostraciones válidas de enunciados existenciales, únicamente aquellas que exhiben o nos dicen cómo construir el o los objetos cuya existencia afirman dichos enunciados.

Estructuralismo


El estructuralismo considera que el objeto de estudio de las matemáticas son estructuras. Los números naturales, por ejemplo, pueden identificarse con cualquiera de las siguientes dos secuencias de conjuntos:
Cada identificación por separado brinda una respuesta concreta a la pregunta de qué son los números naturales. En el segundo caso, por ejemplo, se afirmaría que el número cero es el conjunto vacío, el uno el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, y, en general, que el sucesor de un número natural n (es decir, n + 1) es la unión de los conjuntos n y {n}. En contraste, el estructuralismo afirma que ninguna secuencia como las anteriores constituye “el” conjunto de números naturales (y por lo tanto que no hay una respuesta a preguntas tales como qué objeto es, por ejemplo, el número tres). Secuencias como las anteriores son, de acuerdo al estructuralismo, instancias de algo más general: cada una ejemplifica una estructura cuya descripción está dada por ciertos postulados (los axiomas de Peano). Más precisamente, dichos postulados expresan todas aquellas características, y sólo ésas, que tienen en común secuencias como las dos anteriores. Así, una secuencia infinita como la siguiente:

· · · · · · · · · · . . .

también exhibe “la” estructura que tienen las dos anteriores (pues además de ser infinita, es discreta, es decir, no es continua, y tiene, entre otras características, un primer “elemento” o un comienzo). Las matemáticas estudian, de acuerdo al estructuralismo, las características comunes de secuencias como las anteriores.

Las tradiciones antes mencionadas reflejan algunas de las preocupaciones ontológicas y epistemológicas particulares de los filósofos de las matemáticas, pero la filosofía de las matemáticas no sólo se limita a la clarificación de los conceptos.
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Las tradiciones antes mencionadas reflejan algunas de las preocupaciones ontológicas y epistemológicas particulares de los filósofos de las matemáticas.

El fósil de un número ....

El fósil de un número

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8. Hallar el mayor número natural, con todas sus cifras distintas, cuyo fósil sea impar.

(No resuleto por el Blogger)
Solución en los comentarios.
Tomado de:
http://problemate.blogspot.com

Serie 1ro.2do. Medio - Juegos Matemáticos Interregionales - Chile 2008

La suma de las áreas de todos los triángulos que se pueden formar en la figura es de:

A) 3
B) 4
C) 7
D) 8
E) 10
Respuesta:
Hay 3 triángulos de base 1
Hay 2 triángulos de base 2
Hay un triángulo de base 3
Entonces,
3 veces áreas de (base 1) + 2 veces áreas de (base 2) + 1 vez área de (base 3) =
3 (1 x 2/2) + 2(2x2/2) + 1(3x2/2) = 3 + 4 + 3 = 10
Alternativa E)

El Teorema - Adam Fawer


Título original:
Editorial: Planeta
Año publicación: 2005
Temas: Literatura : Misterio y suspense

El teorema de Adam Fawer:
David Caine es epiléptico, posee una espectacular capacidad para las matemáticas y el cálculo mental y pasa todas las noches jugando al póquer. A causa de sus frecuentes y terribles ataques de epilepsia ha perdido su trabajo de profesor de estadística en la universidad, ha recaído en su adicción al juego y su vida se ha convertido en un infierno. Confía en su don para calcular probabilidades y así ganar mucho dinero lo que le permitiría empezar de nuevo, pero lo improbable no es imposible y acaba debiéndole una fortuna a un peligroso capo de la mafia rusa. A fin de librarse de su enfermedad y recuperar el control de su vida, Caine decide arriesgarse con un medicamento en pruebas, administrada por un misterioso doctor de oscuras intenciones que le utiliza para un experimento sobre la predicción del futuro, basado en la teoría matemática conocida como el demonio de Laplace. Para escapar del enloquecido científico, Caine contará con la ayuda de su hermano gemelo y de una arisca agente de la CIA. Los tres se verán envueltos en una trama de múltiples ramificaciones, y será la capacidad de Caine para ver el futuro lo que les permitirá resolver la compleja situación. Una auténtica golosina para cualquier curioso sobre las regiones más oscuras de la ciencia moderna, donde lo racional se confunde con lo paranormal.

Serie 7mo.8avo. Juegos Matemáticos Interregionales - 2008


En el cuadrado de la figura se colocaron 8 monedas. Si es posible mover una moneda a cualquier posición que esté libre, ¿Cuál es la menor cantidad de monedas que hay que over para que queden exactamente dos monedas es cada fila y en cada columna?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

SOLUCION de UN REGULAR (y más bien mal) SOLUCIONADOR DE PROBLEMAS:

Lo primero y casi por casualidad fue descubrir que moviendo dos monedas lograba el objetivo, pero se podía lograr con menos? Grand duda! Esta fue mi primera solución:




Luego pregunté a un joven de básica y esto fue lo que razonó: ..... continúa!

El joven se llama Fabio, es muy inteligente para las matemáticas. Me dijo que: "está bueno el problema porque el número de monedas es par = 8. Buen razonamiento. Me dijo que se podían mover 5 monedas y colocarlas así: 4 en la primera fila y 4 en la última.

Obviamente la slución es incorrecta, pues si bien cada columna queda con 2 monedas, habrán dos filas, la segunda y la tercera vacías!

La solución final la logre de percibir que hay una moneda, la ubicada en la segunda fila, tercera columna que provoca una fila y una columna con tres monedas, lo mejor es sacarla!

La solución final es:
Basta UN movimiento para lograr lo pedido! (Y ojo que es la única posición en donde no se producen ni filas ni columnas de a 3 fichas o monedas)

Serie 3ro.4to. Juegos Matemáticos Interregionales - 2008

Encontrar el valor de K para que las dos raíces sumen 12.
Solución: En la semana !!!!

Y ojo que está bueno, yo reemplacé y efectivamente se produce una ecuación donde las dos raíces suman 12.

Serie 1ro.2do. - Juegos Matemáticos Interregionales 2008 - Productos Notables


Serie 1ro.2do.Medio - Juegos Matemáticos Interregionales - Fracciones Algebraicas

Simplificar la siguiente fracción:

lunes, 29 de septiembre de 2008

Serie 3ro.4to. Medio - Juegos Matemáticos Interregionales Chile 2008: Potencias, Productos Notables

El número

Es igual a:
Solución:

Ecuación Exponencial - Serie 3ro.4to. Medio - Juegos Matemáticos Interregionales - Chile 2008

Si
Encontrar el valor de x+221?

A) 1218
B) 1000
C) 720
D) 670
E) 620

Solución:

tANGO: eL Algebrista. Gardel - Razzano

El Algebrista (Tango)
::: Un tango con letra de Enzo R. GentileEl algebrista, letra de Enzo R. Gentile, con música del tango "Mano a mano" (Gardel - Razzano)
EL ALGEBRISTA
Algebrista te volviste
refinado hasta la esencia
oligarca de la ciencia
matemático bacán.
Hoy mirás a los que sudan
en las otras disciplinas
como dama a pobres minas
que laburan por el pan.
¿Te acordás que en otros tiempos
sin mayores pretensiones
mendigabas soluciones
a una mísera ecuación?
Hoy la vas de riguroso
revisás los postulados
y junás por todos lados
la más vil definición.
Pero no engrupís a nadie
y es inútil que te embales
con anillos, con ideales
y con álgebras de Boole.
Todos saben que hace poco
resolviste hasta matrices
y rastreabas las raíces
con el método de Sturm.
Pero puede que algún día
con las vueltas de la vida
tanta cáscara aburrida
te llegue a cansar al fin.
Y añores tal vez el día
que sin álgebras abstractas
y con dos cifras exactas
te sentías tan feliz.

Crecimiento de Poblaciones .... Serie 3ro.4to.Medio - Juegos matemáticos Interregionales - Chile 2008

La función:


se utiliza al estudiar el crecimiento de la población, donde "a" es un número positivo. ¿Qué sucede con la función f(x) cuando x aumenta más y más?, ¿Cuál es el ma´ximo de habitantes que podría llegar a tener la población?

Veamos la gráfica de la función realizada con GRAPHMATICA:

Analicemos lo sucedido:
Por lo tanto la expresión anterior tiende a 150.000/3 = 50.000 cuando x se hace cada vez más grande. Esto quiere decir que la máxima población tiende a 50.000, lo que queda muy bien visto en la gráfica.

Otra de olimpiadas .... Serie 3ro.4to. Juegos matemáticos interregionales -2008 Chile




sábado, 27 de septiembre de 2008

Serie 3ro.4to. Medio - Juegos Matemáticos Interregionales Chile 2008: Un pasito más en funciones ....

Solución: en la semana ....

Si se define una función como

determine el(los) valores de "x" tal(es) que f(x+1) 0 22.

viernes, 26 de septiembre de 2008

Serie 3ro.4to. Medio - Juegos Matemáticos Interregionales - Chile 2008

Uno de olimpiadas ....

En una circunferencia de radio "r" se da una cuerda AB = c y se traza la cuerda BC perpendicular al diámetro que pasa por A. Calcular BC en función de "r" y "c".

Solución: en la semana:
De la figura y usando el hecho de que un ángulo inscrito en una semicircunferencia (con sus dos extremos en el diámetro) es recto y el teorema de pitágoras:

Serie 1ro.2do.Medio - Juegos Matemáticos Interregionales Chile

Si a:b = c:d, entonces demuestre que:

(a+2c)/(a+c) = (b+2d)/(b+d)

Desmotración: en los comentarios ....

Serie 7mo.8avo. Juegos Matemáticos Interregionales-Chile

Tres dados idénticos están colocados como se muestra en la figura, encima de una mesa. La cara inferior de cada dado marca los mismos puntos que la cara superior del dado que está abajo. ¿Cuántos puntos marca la cara del dado que se apoya sobre la mesa?

A) 1 ; B) 2 ; C) 3 ; D) 5 ; E) 6
Respuesta en los comentarios!

Serie 7mo.8avo. - Juegos Matemáticos Interregionales

El Blogger: ¿ Por qué los pastores se llaman Alselmos o Cardenios?

Alselmo es un pastor al que le gustan mucho las matemáticas y tiene entre 80 y 100 ovejas su rebaño. Un día observándolo pensó que el número de ovejas que dormían era igual a los 7/8 de las que no dormían. ¿Cuántas ovejas hay exactamente en el rebaño?
Respuesta:

Serie 7mo.8avo. Juegos matemáticos Interregionales


Un collar se rompió mientras jugaban dos enamorados. Una hilera de perlas se escapó. La sexta parte al suelo cayó. La quinta parte en el lecho quedó. Un tercio por la joven se salvó. La décima parte el bien amado recogió. Y con 6 perlas el cordón quedó. ¿Cuántas perlas tenía el collar de los bienaventurados?

Respuesta en los comentarios.

jueves, 25 de septiembre de 2008

Qué es una paradoja? (Tomado de el Topo Lógico)

¿Qué es una paradoja?

Es fácil encontrar en cualquier buscador de Internet referencias a paradojas, por ejemplo, a la Paradoja de Russell, la Paradoja de San Petersburgo o la Paradoja de Epiménides.

Sin embargo, aunque en todas las expresiones anteriores aparece la palabra “paradoja”, no siempre está claro (a veces inclusive para quienes hablan de ellas) que en la frase Paradoja de Russell la palabra “paradoja” no tiene el mismo sentido que en la frase Paradoja de San Petersburgo y que, de hecho, la palabra paradoja se usa en varios sentidos completamente diferentes entre sí.Sin la pretensión de ser exhaustivo, la intención de esta entrada es hacer una lista de algunos de los distintos significados que suelen atribuirse a la palabra “paradoja”.

************************
1) En primer lugar se llama paradoja a una contradicción en un sistema axiomático (o, más en general, en una teoría).

Si establecemos un conjunto de axiomas y de ellos extraemos como conclusión alguna falsedad (o, lo que viene a ser prácticamente lo mismo, extraemos de ellos dos conclusiones mutuamente contradictorias) entonces hemos obtenido de ellos una paradoja. Con el mismo sentido suelen usarse también las palabras contradicción o antinomia.

Éste es, por ejemplo, el sentido de la palabra “paradoja” en la frase la Paradoja de Russell. En 1902 Gottlob Frege acababa de enviar a la imprenta el segundo tomo de Fundamentos de la Aritmética, la obra en la que daba cierre al trabajo de toda su vida y en la que definía los números y sus operaciones (y a partir de ellos, el resto de la matemática) a partir de conceptos puramente lógicos.Una de las premisas de Frege era que a toda propiedad le correspondía un conjunto, el conjunto de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Russell observó (y así se lo comentó a Frege en una carta) que si se toma como propiedad el ser un conjunto que no es elemento de sí mismo se llega a una paradoja, ya que el conjunto asociado a ella debe ser y no ser al mismo tiempo elemento de sí mismo.

Como Frege reconoció en la respuesta que le escribió a Russell el descubrimiento de esta paradoja daba por tierra con todo su sistema.Más tarde Russell dio al público en general una versión más coloquial de su paradoja, en la que en lugar de hablar de un conjunto que no se contiene a sí mismo se habla de un barbero que no afeita a determinadas personas.

Addenda: no es deseable que un sistema axiomático contenga paradojas porque en un sistema paradójico todo puede ser demostrado, tanto las afirmaciones verdaderas como las falsas son demostrables (y en consecuencia ya no puede saberse qué es verdad y qué es mentira). Cuenta la leyenda que en una conferencia Russell hizo la observación de que a partir de una falsedad podía ser demostrada cualquier otra afirmación (verdadera o falsa) y que en fue retado por el público a demostrar, partiendo de que 1 = 0, que Smith era el Papa (Smith era uno de los asistentes a la conferencia, cuyo nombre en realidad no era Smith, pero que sí era reconocidamente ateo).

Russell razonó así: si 1 = 0, sumemos 1 a ambos miembros, luego 1 = 2. Tomemos el conjunto formado por Smith y el Papa. El conjunto tiene 2 elementos, pero como 2 = 1 entonces el conjunto tiene también un solo elemento, luego Smith y el Papa son la misma persona.

2) En segundo lugar se llama paradoja a una falacia.Según este significado de la palabra, una paradoja es un razonamiento que parece demostrar una antinomia (es decir una “paradoja” en el sentido anterior), pero que en realidad contiene un error.

En el sentido anterior se llega a demostrar una falsedad mediante un razonamiento correcto, la falla está en las premisas y no en el razonamiento en sí. En este segundo sentido hay simplemente una falla en el razonamiento que parece llevar a la contradicción.

Un ejemplo: vamos a “demostrar” que 1 = 2.Tomemos dos números iguales, llamémoslos a y b:a = bTomemos un tercer número, llamado c, y sumémoslo a ambos miembros:
a + c = b + c
Elevamos al cuadrado y operamos:
(a + c)^2 = (b + c)
^2a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bc + c^2
a^2 + 2ac = b^2 + 2bc
a^2 – b^2 = 2bc – 2ac
(a – b)(a + b) = 2c(b – a)
Simplificamos (a – b):
a + b = –2c
Como a = b:
2a = –2c
a = –c
Como a y c son números cualesquiera diferentes entre sí entonces podemos asignarles los valores: a = 1, c = –2. Luego: 1 = 2.Si el razonamiento hubiera sido correcto habríamos encontrado en la aritmética una paradoja en el primer sentido (una antinomia, como al de Rusell), pero hay un error en el razonamiento (no es válido simplificar a – b, ya que a – b = 0) y por lo tanto sólo tenemos una paradoja en el segundo sentido, una falacia.

3) En tercer lugar se llama paradoja a un hecho que no conlleva una contradicción lógica (ni real ni aparente), pero que sí contradice nuestra intuición o sentido común.

Un ejemplo es la ya mencionada Paradoja de San Petersburgo. En ella se plantea el siguiente juego: el jugador apuesta un millón de pesos y luego arroja una moneda tantas veces como sea necesario hasta que sale cara por primera vez, cuando sale la primera cara se detiene. Si tiró la moneda una vez, gana 2 pesos. Si tuvo que tirar la moneda dos veces, gana 4 pesos. Si tiró tres veces, gana 8 pesos. Y así sucesivamente, si tiró la moneda n veces gana 2^n pesos. ¿Cuál es la ganancia esperada del jugador? ¿El juego favorece al jugador o a la banca?

Tras hacer los cálculos necesarios se llega a la conclusión de que (no importa cuál sea la apuesta inicial) el juego siempre favorece al apostador y que su ganancia esperada es infinita. A la larga, si juega lo suficiente, su ganancia superará cualquier valor establecido de antemano. Parece raro que un juego dé una ganancia infinita, pero así es, y no hay en ello ninguna contradicción.

Otro ejemplo es la llamada Paradoja de Banach Tarski, un teorema en el que se prueba que es posible cortar una esfera maciza en cinco partes que pueden ser rotadas y (sin que haya deformaciones) ensamblarlas formando dos esferas macizas cada una de ellas del mismo tamaño que la anterior.Obviamente este teorema contradice toda nuestra intuición (parece como si de la nada se hubiera duplicado la materia), pero se trata de un teorema matemático perfectamente válido, sin que haya en él ninguna falacia ni antinomia. Debo aclarar que la duplicación de la esfera no es posible en la práctica ya que se necesitaría que la materia fuese infinitamente divisible.4) En cuarto lugar tenemos las paradojas de decisión.

En una paradoja de decisión se nos pone ante la tarea de tener que optar por una de dos (o más) alternativas. La paradoja se produce cuando sucede que para cada alternativa hay un argumento que la señala como la mejor.Un ejemplo de este tipo de paradojas es la llamada Paradoja de Newcomb, sobre cuyos detalles no me extenderé aquí, baste decir que se trata de un planteo en el que resulta muy difícil decidirse por una u otra de las dos opciones entre las que se nos invita a elegir, sin que ello implique una contradicción lógica (real o aparente), ni un alejamiento del sentido común (a menos que entendamos que éste dice que en toda elección debe haber una alternativa claramente superior a las otras).
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Como he dicho más arriba, la lista no pretende ser exhaustiva. Es posible, inclusive, que algunas paradojas sean difícile de clasificar en uno u otro grupo, o que la clasificación depende de cómo se entienda la paradoja.Tomemos por ejemplo la Paradoja del Examen Sorpresa (o del Ahorcamiento Inesperado) ¿Se trata solamente de una falacia (y cae en el segundo grupo) o se basa en un razonamiento correcto que lleva a una conclusión contraria a la intuición (en el tercer tipo, entonces)? Dejaremos este análisis para otro momento.

Un Problema de olimpiadas ....Ejercicio de muestra para 1ro y 2do Medio

Demostrar que:

Tomado de los 10s Juegos Matemáticos Inetrregionales - 2008: Chile
Trata de hacerlo solito(a) .... el único truco es ser ordenado(a) .... FUERZA !!!!!

Solución al problema olímpico !

No es tan complicado, puro ser ordenado y usar las reglas ....


Resolviendo el anterior planteamiento ....

Aunque no me gusta promocionar actividades pagadas ....


Esto ayude a promocionar la WEB del Foro Matemático, promocionada en este BLOG.

miércoles, 24 de septiembre de 2008

Desafío PSU - La Nación

La esfera de la figura está incrita en el cilindro. Si el volumen de la esfera es 36 pi centímetros cúbicos, ¿Cuál es el volumen del cilindro?

Respuesta, alternativa D)

Desafío PSU - La Nación

Un triángulo equilátero de lado "a" cm está ubicado en un plano horizontal. Si este triángulo se traslada en dirección vertical "b" cm. ¿Cuál es el volumen generado?

Alternativa B)

Mayonesa y café !!!!

MAYONESA Y CAFÉ Cuando las cosas en la vida Parecen demasiado... Cuando 24 horas al día No son suficientes... Recuerda el frasco de mayonesa y el café.

Un profesor delante de su clase de Filosofía sin decir palabra tomo un Frasco grande y vacío de mayonesa y Procedió a llenarlo con pelotas de golf. Luego le preguntó a sus estudiantes si el Frasco estaba lleno. Los estudiantes Estuvieron de acuerdo en decir que si. Así que el profesor tomo una caja llena de Canicas y la vació dentro del frasco de Mayonesa. Las canicas llenaron los espacios Vacíos entre las pelotas de golf. El profesor volvió a preguntar a los estudiantes si el frasco estaba lleno, ellos volvieron a decir Que si. Luego...el profesor tomo Una caja con arena y la vació dentro del frasco. Por supuesto, la arena lleno todos los espacios Vacíos, así que el profesor pregunto nuevamente Si el frasco estaba lleno. En esta ocasión los estudiantes respondieron Con un 'si' unánime. El profesor enseguida agrego 2 tazas de café Al contenido del frasco y efectivamente llenó Todos los espacios vacíos entre la arena. Los estudiantes reían en esta ocasión. Cuando la risa se apagaba, el profesor dijo:
'QUIERO QUE SE DEN CUENTA QUE ESTE FRASCO REPRESENTA LA VIDA'.

Las pelotas de golf son las cosas Importantes, Como Dios (la Diosa), la familia, los hijos, la salud, Los amigos, todo lo que te apasiona. Son cosas, que aún si todo lo demás lo Perdiéramos y solo éstas quedaran, Nuestras vidas aún estarían llenas. Las canicas son Las otras cosas Que importan, como El trabajo, La casa, El auto, etc. La arena es todo Lo demás, Las pequeñas Cosas.
'Si ponemos la arena en el frasco primero, no habría espacio para las canicas ni para las pelotas de golf. Lo mismo ocurre con la vida'. Si gastamos todo nuestro tiempo y energía en las cosas pequeñas, nunca tendremos lugar para las Cosas realmente importantes Presta atención a las cosas que son cruciales Para tu felicidad. Juega con tus hijos, Tomate tiempo para asistir al doctor, Ve con tu pareja a cenar, Practica tu deporte o afición favorita. Siempre habrá tiempo para limpiar la casa y reparar la llave del agua. Ocúpate de las pelotas de golf primero, de las cosas que realmente importan. Establece tus prioridades, el resto es solo arena.. Uno de los estudiantes levantó la mano y pregunto que representaba el café. El profesor sonrió y dijo: 'Que bueno que lo preguntas... Sólo es para demostrarles, que no importa cuan ocupada tu vida pueda parecer, siempre hay lugar para un par de tazas de café con un amigo.'

domingo, 21 de septiembre de 2008

Editathorial: Jitanjáforas Matemáticas ....


Jijtanjáforas Matemáticas .....
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¿Cada cuánto tiempo aparece una vanguardia en las matemáticas, una que desconstruya el camino hecho? Vanguardia se vincula al concepto de VIGILANCIA y fue usado para designar las avanzadas de los ejércitos. Avanzadas a las cuales -hoy- asociamos rupturas con las formas tradicionales de cualquier ortodoxia .....

YO, cuento tres grandes vanguardias en las matemáticas, quizás 4. Fueron vanguardistas Cantor, Lobatcheski-Riemann y Gödel. cada uno de ellos respectivamente en teoría de Conjuntos, en Geometría y en Lógica matemática. Sus miradas fueron "Turnings Points" en el devenir de la Recta provincia Matemática.

¿Hay Jitanjáforas en Matemáticas? Es decir, creaciones que no se dirijan a la razón sino más bien a la sensación y a la fantasía. Protocolos y resoluciones que no busquen un fín lógico, útil, sino que jueguen solas y produzcan mundos no vislumbrados.

Difícil. Pero Gödel, Riemann y Cantor plantearon Jitanjáforas o palabras malsonantes, disonantes, no ortodoxas, subversivas. Cantor llegó a decir que había distintos tipos de infinitos ....

Es válido algo así como:

Obviamente NO .....

¿Pero entendemos todos(as) que: "conocer", podría partir de esta sonrisa?

Tengo una tentación, pegarme un salto en este conversar sólo .... decir que en el plano de los educadores matemáticos, son mayormente imposibles las jitanjáforas .... Nada hay que nos saque de la intersección vacía entre los que intentamos ser educadores matemáticos: una baja comunicación, un celo extraño, nadie quiere preguntar para no dejar dudas en el plano de la idoneidad ....

NO existe la aventura de ayudarnos, una jitanjáfora que rompa la divergencia de los caminos (salvo maravillosas excepciones) .....

Gran parte de lo mal que Chile está en el tema de las matemáticas, se debe a ello. En los colegios se viven distancias, soledades, desamparos .... menos aún diálogos interdisciplinarios que podrían darle sentido -por ejemplo- a las matemáticas ....

Debemos ayudarnos, ser hermanos(as) .....

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jitanjáforas, término propuesto por el escritor mexicano Alfonso Reyes en 1929, para designar palabras o frases sin significado pero con sonido melódico y rítmico –de allí lo de lenguaje musical–. Reyes no inventó el término, sino que lo tomó del siguiente poema, que una de sus hijas solía recitar, y pertenece al poeta cubano Mariano Brüll:

Filiflama alabe cundre
ala olalúnea alífera
alveolea jitanjáfora
liris salumba salífera.

Desafío PSU - La Nación

El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log(x+6)=2Log x, es:

A) [3]
B) [-2]
C) [2]
D) [3,-2]
E) Vacío.

Alternativa correcta es la A)

El paraíso de Cantor .....


El Paraíso de CANTOR

Georg Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Matemático Alemán de origen Ruso. Célebre creador de la Teoría de Conjuntos (año 1900). Visiones adelantadas a su tiempo y muy controversiales.

Cuento apócrifo del pastor Cardenio
(El ingenioso hidalgo, Episodio del príncipe Etíope)

Cardenio no sabía contar y para no perder sus ovejas, cada vez que las llevaba a pastar, hacía la siguiente operación:

Por cada oveja que salía del corral, ponía una piedra en un canasto. Luego, por cada oveja que entraba al corral, sacaba una piedra del canasto.

Claramente Cardenio hacía una biyección entre dos conjuntos: el de ovejas y el de piedras.

CANTOR: utilizó esta idea para contar elementos y comparar conjuntos de acuerdo a si es posible o no establecer una biyección entre ellos. Lo interesante es que aquí valen conjuntos finitos o infinitos ya que es posible establecer biyecciones entre algunos conjuntos infinitos.

Esto permitió comparar conjuntos infinitos entre sí y de alguna manera atacar el problema de la existencia de infinitos “más grandes que otros”.

CARDINALIDAD: Si hay dos conjuntos y es posible establecer una función biyectiva entre ellos, entonces poseen la misma cardinalidad (tienen el mismo número de elementos).


Luego se puede decir que INo ≡ IP. Poseen la misma cardinalidad, es decir, comparten el mismo tipo de infinito aunque IP está estrictamente contenido en IN.

Conjunto E N U M E R A B L E: Un conjunto es enumerable, sí y sólo sí es finito o tiene la misma cardinalidad que INo.

Comparación entre el conjunto: ] 0, 1[ y IR:


Ambos son infinitos y de igual cardinalidad, porque es posible establecer una relación biunívoca entre cada uno de los puntos del intervalo y el continuo Real.

GRAN TEOREMA de CANTOR:

IR NO es Enumerable!

Basta demostrar que el intervalo ]0,1[ no es enumerable, ya que es equivalente a IR. Esto se hace mediante el proceso de diagonalización de Cantor. Supongamos que se pueden contar los elementos del intervalo como si fueran (todos) los números de INo (En una relación BIYECTIVA)

Decimal 0 → 0,1642098472110875 ...
Decimal 1 → 0,3142365778799867 ...
Decimal 2 → 0,5467999345678799 ...
Decimal 3 → 0,4320987654321345 ...
Decimal 4 → 0,7654321098765432 ...
....
decimal que
no está en la
lista → 0,25795 .....

construido haciendo que la cifra decimal de la posición n sea diferente a la cifra en posición n del decimal n de la lista.

ERGO (luego): no hay una relación biunívoca entre el conjunto y el intervalo

]0,1[ y por lo tanto tampoco con los Reales.

IR no es enumerable !!!!!!

Luego, hay dos tipos de infinitud: una más pensable: la infinitud enumerable, asociada a los números naturales

y otra infinitud más compleja, asociada al conjunto de los números reales.

¿ Hay otras clases de infinitos entremedio? (Si sabe, no se lo cuente a nadie, sólo a mí !!!!)

Bibliografía:

1) La nueva matemática, SALVAT;

2) Álgebra de Erick Goles,

3) Wikipedia: Cantor y Diagonalización de Cantor.

Proyecto SYNCO (Tomado de Wikipedia)

El proyecto Synco o proyecto Cybersyn fue el intento chileno de planificación económica controlada en tiempo real, desarrollado en los años del gobierno de Salvador Allende. En esencia, se trataba de una red de máquinas de teletipo que comunicaba a las fábricas con un único centro de cómputo en Santiago, centro que controlaba a las máquinas empleando los principios de la cibernética. El principal arquitecto del sistema fue el científico británico Stafford Beer.

En 1971, durante el gobierno del presidente Salvador Allende, se comienza a desarrollar en Chile un innovador sistema cibernético de gestión y transferencia de información. El proyecto se llamó CYBERSYN, sinergia cibernética, o SYNCO, sistema de información y control. En las empresas del área de la propiedad social del Estado de Chile se implementaría un sistema de transferencia de información económica a "casi" tiempo real con el gobierno. Después de nacionalizar y anexar diversas empresas de propiedad social al estado, el sistema económico del Gobierno de Allende se enfrentó a la necesidad de coordinar la información de las empresas existentes estatales y las recientemente nacionalizadas. Para lograrlo, se necesitó crear un sistema de transferencia de información dinámico y flexible.
En 1970, Fernando Flores fue nombrado Director General Técnico de CORFO (Corporación para el Fomento de la Producción de Chile). Comenzó a ser el responsable de la gestión y coordinación entre las empresas nacionalizadas y el estado. Conocía las teorías y las soluciones propuestas por el británico Stafford Beer desde que era estudiante de ingeniería y posteriormente por su relación profesional con la empresa de consultoría de Stafford Beer SIGMA. Junto a Raúl Espejo, quien también trabajaba en CORFO y posteriormente fuera director operacional del proyecto, escribió una carta a Stafford Beer con el propósito de invitarlo a implementar en Chile el VSM (modelo del sistema viable), modelo que describía en su libro THE BRAIN OF THE FIRM (Allen Lane, London, 1972). Beer aceptó y el proyecto comenzó su desarrollo en 1971.

Luego de casi dos años de trabajo y de avances inimaginables, el proyecto de gobierno cibernético fue aprobado por el Presidente Salvador Allende para ser implementado en el Palacio La Moneda.

Debido al golpe militar del 11 de Septiembre de 1973, Cybersyn o Synco nunca pudo ser aplicado y fue abortado irrevocablemente, frustrando uno de los proyectos políticos y cibernéticos más avanzados de la época en el mundo.

Historia

A principios de los años '70, Stafford Beer recibió la solicitud por parte del gobierno de Salvador Allende de diseñar este sistema. Tomó un año el construirlo (desde noviembre de 1971 al mismo mes de 1972), aunque nunca se finalizó del todo.

El sistema tuvo la oportunidad de demostrar su utilidad en octubre de 1972, cuando 50.000 camioneros en paro bloquearon las calles de Santiago; empleando las máquinas de teletipos, el gobierno fue capaz de coordinar el transporte de alimentos a la ciudad con los cerca de 200 camiones leales a Allende y que no se encontraban en paro. Comentando este hecho, Beer señalaba modestamente: "Comunicación es control".

Tras el golpe militar del 11 de septiembre de 1973, el centro de control fue destruido.

El sistema

Dado que existían 500 teletipos sin emplear, todos ellos adquiridos durante el gobierno de Eduardo Frei Montalva, cada una de las máquinas fue instalada en una fábrica. En el centro de control en Santiago, un computador procesaba a diario la información recibida desde las fábricas. Al procesar tal información, se obtenían predicciones de corto plazo y recomendaciones para realizar mejoras. Existían cuatro niveles de control (compañía, rama, sector y total) que contaban con retroalimentación algedónica (si el nivel de control inferior no podía solucionar un problema en un intervalo de tiempo determinado, el nivel superior era notificado al respecto). Los resultados eran discutidos en la sala de operación y se elaboraba un plan global.
El software del proyecto Synco se llamaba Cyberstride y empleaba filtros bayesianos y control bayesiano. Fue escrito por un equipo de programadores chilenos en consulta de 12 programadores británicos.

El cuarto de operaciones (Opsroom) contaba con un aspecto bastante futurista, parecía (según el propio Beer) "el escenario de una película de ciencia ficción... En ella no hay ningún papel. La información se refleja en pantallas y en modelos electrónicos animados, que se despliegan alrededor de la sala". Constaba de un mobiliario compuesto por 7 sillas giratorias (consideradas las mejores para la creatividad) con un panel de botones; estos botones controlaban varias pantallas gigantes en que se podía proyectar la información y otros paneles con información del estado de operaciones.

El proyecto es mencionado en el libro Platform for change, de Stafford Beer.

viernes, 19 de septiembre de 2008

miércoles, 17 de septiembre de 2008

Saludos Allende el mar

Hola Claudio! Soy Esperanza, la bloger de la clase de MATEmáTICas. Te agradezco muchísimo que hayas puesto un enlace a mi blog en el tuyo. Yo me había dado cuenta de que alguien me mandaba visitas, descubrí tu blog antes de leer el comentario que habías dejado.Lo he leído ayer por casualidad y me hizo mucha ilusión (te contesté estos días en el blog). Soy profesora de matemáticas de Secundaria en Pontevedra(Galicia), aquí el sol también se pone por el mar, lo mejor de las tardes de primevera y otoño son las puestas de sol. Me parece fantástica la nueva era que estamos viviendo en la educación, aunque estamos sólo empezando.En esta región del mundo las nuevas tecnologías están todavía empezando, a mi me tienen cautivada, me gusta saber que se cuece en el resto del mundo en torno las Matemáticaticas y su enseñanza y cómo aprovecharlo es todavía más apasionante. El blog ha sido empezar y no parar, no sé que vendrá a continuación, seguiré observando a otros como tú para no quedarme atrás. Un saludo desde el atlántico y gracias de nuevo.

Esperanza Gesteira

martes, 16 de septiembre de 2008

MathWay, resolviendo problemas ONLINE


MATHWAY ES UNA APLICACIÓN WEB QUE PERMITE RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS A TRAVÉS DE LA RED. Es una herramienta gratuita, que no precisa del registro de los usuarios.

La herramienta (en inglés) MathWay puede resolver una gran cantidad de problemas, mostrando además paso a paso cómo llegar al resultado.

MathWay tiene varias secciones diferentes relacionadas con varias de las ramas de las matemáticas como matemáticas básicas (fracciones, raíces simples, determinantes, áreas y volúmenes), pre-álgebra (cálculo de áreas y volúmenes más complicados, etc.), álgebra (matrices, logaritmos neperianos y logaritmos con base un entero natural), trigonometría (operaciones seno, coseno, tangente y derivados), pre-cálculo (límites) y cálculo (integrales y sumas).

Lo interesante de esta aplicación es que nos permite introducir nuestros propios problemas y la web nos devuelve la solución y la manera de llegar a ella. Además, en algunos casos nos permite crear un gráfico con la solución, muy útil en el caso de funciones trigonométricas.

En la portada, un contador indica además el número de problemas resuletos hasta el momento... a fecha de hoy, algo más de 1.120.057 de ellos...

Más información en la página de MathWay.
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Ejemplo de una solución:
-3y+3x=-7(x+3) Multiply -7 by each term inside the parentheses.
-3y+3x=(-7x-21) Remove the parentheses around the expression -7x-21.
-3y+3x=-7x-21 Since 3x does not contain the variable to solve for, move it to the right-hand side of the equation by subtracting 3x from both sides.
-3y=-3x-7x-21 Simplify the right-hand side of the equation.
-3y=-10x-21 Divide each term in the equation by -3.
-3y/-3 = -10x/-3 -21/-3
Simplify the left-hand side of the equation by canceling the common terms.
y=-10x/-3 -21/-3
Simplify the right-hand side of the equation by simplifying each term.
y=10x/3 + 7
To find the slope and y intercept, use the y=mx+b formula where m=slope and b is the y intercept. y=mx+b
Using the y=mx+b formula, m=10/3, b=7
Botón: Graphic this solution

Matemáticas Inclusivas (Comentario de Libro, tomado de matematicalia)


Título: MATEMÁTICA INCLUSIVA. PROPUESTAS PARA UNA EDUCACIÓN MATEMÁTICA ACCESIBLE
Autor: Àngel Alsina y Núria Planas
Editorial: Narcea (Colección Educación Hoy-Estudios)
Páginas: 176
Formato: 17 x 24 cm
Fecha de publicación: 2008
ISBN: 978-84-277-1591-2

INFORMACIÓN EDITORIAL

Nuestra sociedad tiene la obligación de garantizar el acceso a una educación matemática de calidad para todo el mundo y, con ello, avanzar en la mejora de las condiciones de ciudadanía. "Matemática Inclusiva. Propuestas para una educación matemática accesible" pretende ser un instrumento de ayuda en la consecución de este objetivo. A lo largo del libro se proponen formas de reconstruir la relación de las personas con las matemáticas a través diversos principios fundamentales de la educación matemática: el pensamiento crítico, la manipulación de materiales, el juego y la atención a la diversidad. Una educación matemática basada en estos principios tiene que destacar, a su vez, los principios más generales de contextualización en los lugares donde se lleva a cabo la práctica; globalización de los grupos de conocimiento implicados y personalización de los contenidos matemáticos en función de la especificidad de cada persona. Unos y otros principios se abordan en el libro de forma interrelacionada y en base a experiencias validadas de aula.

Más información en Narcea.